Os termos de uma série são definidos recursivamente pelas equações:

a 1 = 2       a n + 1 = 5 n + 1 4 n - 3 a n

Determine de ∑ a n converge ou diverge.

Passo 1

E aí, gente! Tudo certinho?

A questão quer que a gente descubra se nossa série definida pelos dois termos dados no enunciado converge ou diverge. Veja que não temos o termo a n definido, mas temos ele multiplicando o termo a n + 1 . A dica aqui é usar o Teste da Razão, porque assim dividimos o termo a n e ele “some”.

Relembrando o Teste da Razão. Calculamos o limite:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L      

Se:

  • L < 1 → a série ∑ a n é absolutamente convergente (e, portanto, convergente).
  • L > 1 → a série ∑ a n é divergente (o mesmo para L = ∞ )
  • L = 1 → o teste é inconclusivo.

Vamos desvendar a resposta!

Passo 2

Como dado no enunciado:

a n + 1 = 5 n + 1 4 n - 3 a n

Temos então:

a n + 1 a n = 5 n + 1 4 n - 3 ⋅ a n a n

Viu como cancela esse termo que não conhecemos? Simplifica bastante.

5 n + 1 4 n - 3 ⋅ a n a n   = 5 n + 1 4 n - 3

Passo 3

Calculando o limite:

  l i m n → ∞ 5 n + 1 4 n - 3 =   l i m n → ∞ 5 + 1 n 4 - 3 n = 5 4

Pelo fato de L > 1 , temos que a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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