Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 16.3 - Ex. 5
Determine se é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função tal que
Passo 1
Oi galera, tudo bem?
Nessa questão precisamos determinar se um campo vetorial é ou não conservativo. Pra um campo ser conservativo precisamos que:
Além disso, se um campo é conservativo, existe uma função potencial tal que , e precisamos achar essa função também!
Pra definir se é conservativo, basta calcularmos as derivadas parciais e testarmos essa igualdade.
Se não for conservativo, nossa questão acaba aqui.
Se for, pra achar a função potencial, vamos usar de que:
E acharmos quem é .
Antes de irmos pras contas, vale uma observação: essa questão muito provavelmente tem um erro de digitação – em vez de seria . Vamos resolver a questão como está escrita e depois comentamos como resolver se realmente for um erro de digitação.
Passo 2
Nosso campo vetorial é:
Então vamos calcular as derivadas parciais.
Primeiro de em função de , considerando como constante:
Agora de em função de , com constante:
Nesse caso, como
O campo não é conservativo, e a questão termina aqui!
Passo 3
Agora vamos ver como é a resolução pro caso de
Derivando em função de :
Derivando em função de :
Então:
Ou seja, é conservativo!
Passo 4
Para achar , vamos integrar em função de , com constante:
Como estamos integrando com constante, nossa constante de integração vai depender de , por isso .
Por outro lado, se integrarmos em função de , com constante:
De novo, nossa constante de integração depende de , que é constante nessa integral.
Passo 5
Essas duas integrais que calculamos representam , então:
Como temos uma função de igual a uma função de , isso só acontece se essa função for constante, ou seja:
E achamos a função potencial:
Para .
Se você olhar o gabarito no final do livro, vai ver que essa é a resposta pra essa questão, o que indica que realmente tem um erro de digitação.
Porém, pra todos os efeitos, a resposta da questão como está exposta é que não é conservativo.
Resposta
Não é conservativo