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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.8 - Ex. 47

Use a Regra de L'Hôpital para ajudar a calcular a integral imprópria.

∫ 0 1 ln ⁡ x d x

Passo 1

Temos aqui que f é contínua no intervalo a , b , exceto por uma descontinuidade infinita em a , então a integral imprópria de f no intervalo a , b é definida por:

∫ a b f x d x = lim k → a ⁺ ⁡ ∫ k b f x d x

Vamos agora substituir os limites de integração e a função:

∫ 0 1 ln ⁡ x d x = lim k → 0 ⁺ ⁡ ∫ k 1 ln ⁡ x d x

Passo 2

Vamos calcular a integral do limite, vamos calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

∫ ln ⁡ x d x

Vamos usar integração por partes, que é da forma abaixo:

∫ u d v = u ⋅ v - ∫ v d u

Então vamos fazer:

u = ln ⁡ x

d v = d x

Disso temos então:

d u = 1 x d x

v = x

Próximo passo é substituir na integral:

∫ u d v = u ⋅ v - ∫ v d u → ∫ ln ⁡ x d x = ln ⁡ x ⋅ x - ∫ x ⋅ 1 x d x = x ln ⁡ x - ∫ d x

Passo 3

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c d x = c x + C

Aplicando:

∫ ln ⁡ x d x = x ln ⁡ x - ∫ d x = x ln ⁡ x - x

Passo 4

Pronto, já encontramos a integral indefinida, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Agora vamos voltar a integral:

∫ k 1 ln ⁡ x d x = x ln ⁡ x - x k 1 = 1 ⋅ ln ⁡ 1 - 1 - k ln ⁡ k - k = 1 ⋅ 0 - 1 - k ln ⁡ k + k =

= - 1 - k ln ⁡ k + k

Passo 5

Agora vamos calcular a integral original:

∫ 0 1 ln ⁡ x d x = lim k → 0 + ⁡ ∫ k 1 ln ⁡ x d x = lim k → 0 + ⁡ - 1 - k ln ⁡ k + k = lim k → 0 + ⁡ - 1 + lim k → 0 + ⁡ - k ln ⁡ k + lim k → 0 + ⁡ - k =

= - 1 + lim k → 0 + ⁡ ln ⁡ k - 1 k - 0 = - 1 + lim k → 0 + ⁡ ln ⁡ k - 1 k

Temos que resolver esse último limite que apareceu, vamos aplicar a Regra de L'Hôpital, derivando o numerador e o denominador separadamente:

∫ 0 1 ln ⁡ x d x = - 1 + lim k → 0 + ⁡ ln ⁡ k - 1 k = - 1 + lim k → 0 + ⁡ 1 k - - 1 k - 1 - 1 = - 1 + lim k → 0 + ⁡ 1 k k - 2 =

= - 1 + lim k → 0 + ⁡ 1 k 1 k 2 = - 1 + lim k → 0 + ⁡ 1 k ⋅ k 2 = - 1 + lim k → 0 + ⁡ k = - 1 + 0 = - 1

Pronto, achamos o valor da integral imprópria!!

Resposta

∫ 0 1 ln ⁡ x d x = - 1

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