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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.8 - Ex. 48

Use a Regra de L'Hôpital para ajudar a calcular a integral imprópria.

∫ 1 + ∞ ln ⁡ x x 2 d x

Passo 1

Temos aqui que f é contínua no intervalo a , b , exceto por uma descontinuidade infinita em b , então a integral imprópria de f no intervalo a , b é definida por:

∫ a b f x d x = lim k → b ⁻ ⁡ ∫ a k f x d x

Vamos agora substituir os limites de integração e a função:

∫ 1 + ∞ ln ⁡ x x 2 d x = lim k → + ∞ ⁡ ∫ 1 k ln ⁡ x x 2 d x

Passo 2

Vamos calcular a integral do limite, vamos calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

∫ ln ⁡ x x 2 d x

Vamos usar integração por partes, que é da forma abaixo:

∫ u d v = u ⋅ v - ∫ v d u

Então vamos fazer:

u = ln ⁡ x

d v = 1 x 2 d x

Disso temos então:

d u = 1 x d x

v = - 1 x

Próximo passo é substituir na integral:

∫ u d v = u ⋅ v - ∫ v d u → ∫ ln ⁡ x x 2 d x = ln ⁡ x ⋅ - 1 x - ∫ - 1 x ⋅ 1 x d x = - ln ⁡ x x + ∫ 1 x 2 d x =

= - ln ⁡ x x + ∫ x - 2 d x

Passo 3

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C

Aplicando:

∫ ln ⁡ x x 2 d x = - ln ⁡ x x + ∫ x - 2 d x = - ln ⁡ x x + x - 2 + 1 - 2 + 1 + C = - ln ⁡ x x + x - 1 - 1 + C = - ln ⁡ x x - 1 x + C

Passo 4

Pronto, já encontramos a integral indefinida, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Agora vamos voltar a integral:

∫ 1 k ln ⁡ x x 2 d x = - ln ⁡ x x - 1 x 1 k = - ln ⁡ k k - 1 k - - ln ⁡ 1 1 - 1 1 = - ln ⁡ k k - 1 k - - 0 1 - 1 =

= - ln ⁡ k k - 1 k + 1

Passo 5

Agora vamos calcular a integral original:

∫ 1 + ∞ ln ⁡ x x 2 d x = lim k → + ∞ ⁡ ∫ 1 k ln ⁡ x x 2 d x = lim k → + ∞ ⁡ - ln ⁡ k k - 1 k + 1 =

= lim k → + ∞ ⁡ - ln ⁡ k k + lim k → + ∞ ⁡ - 1 k + lim k → + ∞ ⁡ 1 = 1 + lim k → + ∞ ⁡ - ln ⁡ k k + lim k → + ∞ ⁡ - 1 k =

= lim k → + ∞ ⁡ - ln ⁡ k k + 0 + 1 = 1 + lim k → + ∞ ⁡ - ln ⁡ k k

Temos que resolver esse último limite que apareceu, vamos aplicar a Regra de L'Hôpital, derivando o numerador e o denominador separadamente:

∫ 1 + ∞ ln ⁡ x x 2 d x = 1 + lim k → + ∞ ⁡ - ln ⁡ k k = 1 + lim k → + ∞ ⁡ - 1 k 1 = 1 + lim k → + ∞ ⁡ - 1 k = 1 + 0 = 1

Pronto, achamos o valor da integral imprópria!!

Resposta

∫ 1 + ∞ ln ⁡ x x 2 d x = 1

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Expresse a integral imprópria como um limite e, então, calcule esse limite com um CAS. Confirme sua resposta calculando diretamente as integrais com um CAS. ∫ 0 + ∞ e - x cos ⁡ x d x
Em cada item, confirme o resultado com um CAS. ∫ - ∞ + ∞ e - x 2 d x = π
Em cada parte, use o Exercício 52 para determinar se a integral converge ou diverge. Se convergir, então use a parte (b) daquele exercício para encontrar uma cota superior para o valor da integral. (a
Em cada parte, use o Exercício 52 para determinar se a integral converge ou diverge. Se convergir, então use a parte (b) daquele exercício para encontrar uma cota superior para o valor da integral. (a
Em cada parte, use o Exercício 52 para determinar se a integral converge ou diverge. Se convergir, então use a parte (b) daquele exercício para encontrar uma cota superior para o valor da integral. (a