Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.5 - Ex. 59
Use a regra de Simpson com para estimar o comprimento da elipse .
Passo 1
Então pessoal, antes de aplicarmos a regra de Simpson devemos escrever essa elipse no seu formato padrão, que é:
Para conseguirmos escrever a equação que nos foi dada dessa forma, basta dividirmos tudo por , saca só:
Ok, o primeiro passo foi feito! Agora temos que escrever a integral que define o comprimento da elipse em questão! De acordo com o Stewart, a integral é a seguinte:
Aqui vale ressaltar que estamos trabalhando com coordenadas polares, sendo assim, temos que parametrizar nossa curva com as equações:
Ademais, a nossa elipse tem um intervalo de .
Passo 2
Só falta uma coisinha para podermos escrever a nossa integral, que é determinar as derivadas de e ! Derivando essas funções, teremos:
Substituindo na integral, teremos:
Tudo bem, escrevemos a nossa integralzinha, certo? Agora vamos aplicar a regra de Simpson! O enunciado pede para que dividamos a região dessa integral em subintervalos, certo? Sendo assim, teremos:
Ademais, temos que a nossa função é:
Passo 3
Como , então a regra de Simpson diz que devemos descobrir o valor da função em intervalos múltiplos interios de até atingirmos o intervalo desejado, que é ! Os valores devem ser substituídos na seguinte expressão:
E esses valores de são:
Aplicando cada um desses valores na função , teremos:
Passo 4
Substituindo os valores que encontramos no passo anterior na expressão que define o comprimento da elipse, teremos: