1.8. Escreva uma equação polar de uma cônica com o foco na origem e com os dados fornecidos.

4. Hipérbole, excentricidade e = 3 , diretriz x = 3 .

Passo 1

A equação polar com foco na origem tem o seguinte formato, segundo a seção 10.6 do Stewart:

r = e d 1 ± e ⋅ cos ⁡ θ   o u   r = e d 1 ± e ⋅ s e n   θ

No qual e é a excentricidade e d é a diretriz da cônica em questão.

Como vou saber, então, quais sinais adotar e qual das duas equações escolher?

Nessa mesma seção há uma regrinha que determina qual equação vamos utilizar dependendo da diretriz escolhida.

Se a diretriz for escolhida à direita e paralela ao eixo y , isto é, x = d , então devemos utilizar:

r = e d 1 + e ⋅ cos ⁡ θ   ( 1 )

Se a diretriz for escolhida à esquerda e paralela ao eixo y , isto é, x = - d , então devemos utilizar:

r = e d 1 - e ⋅ cos ⁡ θ   ( 2 )

Se a diretriz for escolhida acima e paralela ao eixo x , isto é, y = d , então devemos utilizar:

r = e d 1 + e ⋅ s e n   θ   ( 3 )

Se a diretriz for escolhida abaixo e paralela ao eixo x , isto é, y = - d , então devemos utilizar:

r = e d 1 - e ⋅ s e n   θ   ( 4 )

A questão nos pede para escrever a equação polar de uma cônica a partir dos dados fornecidos, o que significa que precisamos escolher uma dessas equações e obter um valor para r como uma função de θ .

Passo 2

No nosso caso, como a diretriz está em x = 3 , ou seja, no formato x = d , então teremos que escolher a equação ( 1 )

r = e d 1 + e ⋅ cos ⁡ θ

Se substituirmos os valores dados e = 3 , d = 3 , teremos:

r = 3 ⋅ 3 1 + 3 ⋅ cos ⁡ θ

∴   r = 9 1 + 3 ⋅ cos ⁡ θ

Resposta

r = 9 1 + 3 ⋅ cos ⁡ θ

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