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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.7 - Ex. 39

Use a Regra de Simpson com n= 8 para estimar o volume do sólido obtido ao girar a região mostrada na figura em torno do (a) eixo x e (b) eixo y.

Passo 1

Vamos denotar uma curva com uma função f(x). Assim, temos

V = ∫ 2 10 π f x 2 d x

Retirando a constante, fica

V = π ∫ 2 10 f x 2 d x

V = π ∫ 2 10 g ( x ) d x

Podemos dizer que V = π I 1 .

Agora é só usar a regra de Simpson para a integral aproximada.

S 8 = 10 - 2 8 × 3 [ g ( 2 ) + 4 g 3 + 2 g 4 + 4 g 5 + 2 g 6 + 4 g 7 + g 8 ]

≈ 1 3 [ 0 2 + 4 1,5 2 + 2 1,9 2 + 4 2,2 2 + 2 3,0 2 + 4 3,8 2 + 2 4 2 + 4 3,1 2 + 0 2 ]

= 1 3 ( 181,78 )

Logo, o volume é V ≈ 190,4 .

Passo 2

Agora vamos usar cascas cilíndricas que consistirá no eixo y. Ficará assim:

V = ∫ 2 10 2 π x f ( x ) d x

Retirando a constante, fica

V = 2 π ∫ 2 10 x f ( x ) d x

Podemos dizer que V = 2 π I 1 .

Agora é só usar a regra de Simpson para a integral aproximada.

S 8 = 10 - 2 8 × 3 [ 2 f 2 + 4 × 3 f 3 + 2 × 4 f 4 + 4 × 5 f 5 + 2 × 6 f 6 + 4 × 7 f 7 + 2 × 8 f 8 + 4 × 9 f 9 + 10 × f ( 10 ) ]

≈ 1 3 [ 2 f 0 + 12 f 1,5 + 8 f 1,9 + 20 f 2,2 + 12 f 3 + 28 f 3,8 + 16 f 4 + 36 f 3,1 + 10 f ( 0 ) ]

= 1 3 ( 395,2 )

Logo, o volume é V = 2 π × 1 3 395,2 = 827,7 .

Resposta

  1. V ≈ 190,4
  2. V = 827,7
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a Deduza a identidade sec 2 ⁡ x t g x = 1 s e n x cos ⁡ x b Use a identidade s e n 2 x = 2 s e n x cos ⁡ x junto ao resultado de a para calcular ∫ c o s s e c xd x . c Use a identidade cos ⁡ x = s e n
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