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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 6.2 - Ex. 34

Encontre uma integral para o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas sobre a reta especificada. Em seguida, use a calculadora para determinar a integral com precisão de cinco casas decimais

y = x 2 ,   x 2 + y 2 = 1 ,   y ≥ 0

  1. Em torno do eixo x
  2. Em torno do eixo y

Passo 1

Em torno do eixo x, substituindo y na equação:

x 2 + ( x 2 ) 2 = 1

x 2 + x 4 - 1 = 0

Podemos fazer:

x 2 = - 1 + 5 2 = 0,618

No entanto, o valor de x é aproximadamente:

x = ± - 1 + 5 2 = ± 0,786

Colocando na integral, temos

V x = ∫ - 0,786 0,786 π [ 1 - x 2 - x 2 2 ] d x

Essa integral pode ser dividida em duas partes, devido os intervalos iguais, então

V x = 2 π ∫ 0 0,786 1 - x 2 - x 4 d x

V x = 2 π x - x 3 3 - x 5 5 0 0,786

V x = 2 π [ 0,786 - ( 0,786 ) 3 3 - ( 0,786 ) 5 5 ]

V x = 3,54459

Já em torno do eixo y, resolvemos a integral da seguinte forma:

V x = ∫ 0 0,786 2 π y 2 d y + ∫ 0,786 2 1 π 1 - y 2 2 d y

Assim, temos

V x = ∫ 0 0,786 2 π y d y + ∫ 0,786 2 1 π 1 - y 2 2 d y

V x = ∫ 0 0,786 2 π y d y + ∫ 0,786 2 1 π 1 - y 2 d y

V x = π y 3 3 0 0,786 2 d y + π y - y 3 3 1 0,786 2

V x = 0,99998

Resposta

(a)   V x = 3,54459

(b) V x = 0,99998

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