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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 6.2 - Ex. 31

Encontre uma integral para o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas sobre a reta especificada. Em seguida, use a calculadora para determinar a integral com precisão de cinco casas decimais

y = e - x 2 ,   y = 0 ,   x = - 1 ,   x = 1

  1. Em torno do eixo x
  2. Em torno do eixo y = - 1

Passo 1

Falaeee, belezinha?? Bom.. a questão quer que encontremos uma integral para o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas seguintes curvas dadas:

y = e - x 2

y = 0

  x = - 1

  x = 1

Em relação às seguintes retas:

Eixo x

y = - 1

Lembrando que ... o volume gerado pela rotação de uma região pode ser calculado através da seguinte expressão:

V = ∫ a b A ( x ) d x

Além disso, temos que usar uma calculadora para determinar a integral com precisão de cinco casas decimais.

E aí?? Bora lá?? 😉

Passo 2

Em torno do eixo x , resolvemos integral da seguinte forma:

V x = ∫ - 1 1 π e - x 2 2 d x

Essa integral pode ser dividida em duas partes, devido os intervalos iguais, então

V x = 2 π ∫ 0 1 ( e - 2 x 2 ) d x

Essa é uma integral sem antiderivada elementar. Resolvendo com a ajuda da calculadora, temos que V x = 3,75825 .

Passo 3

Já em torno do eixo y = - 1 , temos

V x = ∫ - 1 1 π { e - x 2 - - 1 2 - 0 - - 1 2 d x

V x = ∫ - 1 1 π { e - x 2 + 1 2 - 0 + 1 2 d x

Essa integral também pode ser dividida em duas partes, devido os intervalos iguais,

então

V x = 2 π ∫ 0 1 { e - x 2 + 1 2 - 0 + 1 2 d x

V x = 2 π ∫ 0 1 ( e - x 2 + 2 e - x 2 ) d x

Novamente temos uma integral sem antiderivada elementar.

Resolvendo com a ajuda da calculadora, temos que V x = 13,14312 .

Resposta

  1. V x = 3,75825
  2. V x = 13,14312
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