Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.3 - Ex. 7
Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
Boa dia, boa tarde ou boa noite meu amigo.
O teste da integral é legal porque ele é diretão! Se a integral converge, a série converge. Se a integral diverge, a série diverge. Olha que beleza!
Nosso primeiro passo será sempre olhar o nosso termo geral da série e associá-lo a uma função . Nesse nosso caso, ficamos com:
Em seguida, precisamos garantir que a série é decrescente, contínua e positiva. O teste da integral só vale nessas condições.
Após isso podemos calcular a integral da função associada à série. E saberemos a convergência da série de acordo com o resultado da integral.Tranquilo né? Então vamos seguir pra próxima etapa:
Passo 2
Ainda como parte do primeiro passo, é bom avaliarmos se a nossa função é contínua, positiva e decrescente entre os limites da nossa série, que, nesse caso, se configura no domínio .
De maneira prática, é só olhar para o termo geral e ver se ele será sempre positivo. No nosso caso, é tranquilo de perceber isso pois não há nenhum termo ou elemento que envolve sinais negativos.
E será que ele decresce à medida que aumenta?
Perceba que aumenta muito mais rapidamente que , e isso acontecerá para todo .
A única singularidade seria quando o denominador é igual a zero, o que nunca acontece. Ou seja, nossa função é contínua.
Passo 3
E como que fazemos para calcular uma integral imprópria?Calcularemos o limite da integral para um intervalo definido em que um desses extremos tende a infinito.
Sendo
Show de bola! Agora calcularemos a seguinte integral imprópria:
Passo 4
Bom, para resolvermos essa integral, dado que o integrando é um produto de funções, vamos usar a técnica de integração por partes com e :
Simplificando, temos:
Passo 5
Retornando à nossa integral imprópria, temos:
Opa! A nossa integral imprópria convergiu para um valor!
Logo, pelo Teste da Integral, a nossa série é convergente!