Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.3 - Ex. 8
Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
Fala meu querido, vamos utilizar o teste da integral para dizer se a série converge ou não.Mas e ai? Voce lembra o que diz o teste da integral, e quando eu posso aplicar ele?O teste da integral é um teste de consenso, ou seja, saberemos se a série converge se a integral também convergir.
Além disso, poderemos aplicar esse teste se a função for continua ( no domínio interessado), positiva e decrescente.
Passo 2
Agora que já sabemos o necessário. Podemos inicar a análise.
Nosso primeiro passo será sempre olhar o nosso termo geral da série e associá-lo a uma função . Nesse nosso caso, ficamos com:
Primeiro vemos que a função associada nãio possui nenhum elemento que terá termos negativos. Ou seja, a série é positiva.
Além disso, vericaremos que a série possui uma singularidade em
Porém, está fora do nosso domínio. Então poderemos considerar a função contínua.
Passo 3
Temos que analisar agora se a função é sempre decrescente. Que é o mesmo que calcular o limite da função .
Essa última parte é praticamente o Teste da Divergência, ou seja, se percebermos que
então não só não aplicaremos o Teste da Integral, como também já saberemos que a série é divergente.
Nesse nosso caso, temos:
Opa! Nem precisamos aplicar o Teste da Integral aqui, perceberam?
Chegamos à conclusão, pelo Teste da Divergência, que a nossa série é divergente!