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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.8 - Ex. 60

A velocidade média v - das moléculas de um gás ideal é dada por

v - = 4 π M 2 R T 3 2 ∫ 0 + ∞ v 3 e - M v 2 / ( 2 R T )   d v

e a raiz média quadrada da velocidade v r m s , por

v r m s 2 = 4 π M 2 R T 3 2 ∫ 0 + ∞ v 4 e - M v 2 / ( 2 R T )   d v

onde v é a velocidade da molécula, T é a temperatura do gás, M é o peso molecular do gás e R é a constante do gás.

(a) Use um CAS para mostrar que

∫ 0 + ∞ x 3 e - a 2 x 2   d x = 1 2 a 4 ,   a > 0

e esse resultado para mostrar que v - = 8 R T / ( π M ) .

(b) Use um CAS para mostrar que

∫ 0 + ∞ x 4 e - a 2 x 2   d x = 3 π 8 a 5 ,   a > 0

e esse resultado para mostrar que v r m s = 3 R T / M .

Passo 1

Para resolvermos esse problema, vamos considerar que a 2 = M 2 R T , assim, substituindo na expressão da velocidade média, temos:

v - = 4 π M 2 R T 3 2 × 1 2 × M 2 R T - 2

Assim, resolvendo:

= 4 π 2 R T M

v - = 8 R T / ( π M )

Passo 2

Para o item (b), considerando a mesma ideia de a 2 = M 2 R T , temos:

v r m s 2 = 4 π M 2 R T 3 2 × 3 π 8 × M 2 R T - 5 2

v r m s 2 = 3 R T M

Então, v r m s = 3 R T M . Certinho??

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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