Se não utilizássemos a Regra de L’Hôpital para calcular

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x ou lim x → + ∞ ⁡ 1 + 1 x x

poderíamos ser acusados de raciocínio circular. Explique por quê.

Passo 1

Vamos lá, se formos usar a regra L'Hospital para avaliar lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x ou lim x → + ∞ ⁡ 1 + 1 x x precisamos encontrar a derivada de sen ⁡ x e a derivada de ln ⁡ 1 + 1 x e se não conhecemos essas derivadas, devemos usar a definição da derivada e acabaríamos na mesma expressão do limite novamente.

Vamos ver como exemplo calcular o a derivada de sen ⁡ x pela definição:

lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

Vamos aplicar:

sen ⁡ x ' = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h = lim h → 0 ⁡ sen ⁡ x + h - sen ⁡ x h

Agora vamos precisar usar a seguinte identidade:

sen ⁡ a + b = sen ⁡ a cos ⁡ b + sen ⁡ b cos ⁡ a

Aplicando ficamos com:

lim h → 0 ⁡ sen ⁡ x + h - sen ⁡ x h = lim h → 0 ⁡ sen ⁡ x cos ⁡ h + sen ⁡ h cos ⁡ x - sen ⁡ x h =

= lim h → 0 ⁡ sen ⁡ x cos ⁡ h - 1 + sen ⁡ h cos ⁡ x h = lim h → 0 ⁡ sen ⁡ x cos ⁡ h - 1 h + lim h → 0 ⁡ sen ⁡ h cos ⁡ x h

Temos que as expressões em função de x são constantes, então vamos colocar para fora do limite:

lim h → 0 ⁡ sen ⁡ x cos ⁡ h - 1 h + lim h → 0 ⁡ sen ⁡ h cos ⁡ x h = sen ⁡ x lim h → 0 ⁡ cos ⁡ h - 1 h + cos ⁡ x lim h → 0 ⁡ sen ⁡ h h

Assim chegamos novamente à expressão lim h → 0 ⁡ sen ⁡ h h .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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