Suponha que uma função seja diferenciável em . Modifique o argumento do Exercício para provar que a reta tangente ao gráfico de no ponto fornece a melhor aproximação linear de em . [Sugestão: Suponha que seja uma reta qualquer que passe pelo ponto com inclinação . Aplique a Definição a com e .]

Observe que obtemos:

Temos então que se , existe tal que se então:

Multiplicando por :

Agora vamos usar a Desigualdade Triangular :

Temos então , assim está mais próximo de do que de . Portanto a reta tangente fornece uma aproximação melhor de do que qualquer outra reta que passe por .

E qualquer reta que não passe por esse ponto fornece uma aproximação ainda pior para próximo de , assim a linha tangente fornece a melhor aproximação linear.