Suponha que uma função f seja diferenciável em x₀ . Modifique o argumento do Exercício 53 para provar que a reta tangente ao gráfico de f no ponto P(x₀, f(x₀)) fornece a melhor aproximação linear de f em P . [Sugestão: Suponha que y = f(x0) + m (x - x0) seja uma reta qualquer que passe pelo ponto P(x_0, f(x_0)) com inclinação m ≠ f'(x0) . Aplique a Definição 1.4 * 1 a 5 com x = x0 + h e ϵ = 1 / 2 | f'_{x_0} - m | .]

Passo 1

Vamos lá, sendo g x e h x da forma abaixo:

g x = f x - f x 0 + f ' x 0 x - x 0

h x = f x - f x + m x - x 0

Vamos subtrair as duas:

h x - g x = f x - f x + m x - x 0 - f x - f x 0 + f ' x 0 x - x 0

h x - g x = f x - f x - m x - x 0 - f x + f x 0 + f ' x 0 x - x 0

h x - g x = - m x - x 0 + f ' x 0 x - x 0

h x - g x = f ' x 0 - m x - x 0

Passo 2

Observe que obtemos:

h x - g x = f ' x 0 - m x - x 0

Temos então que se m ≠ f ' x 0 , existe δ > 0 tal que se 0 < x - x 0 < δ então:

f x - f x 0 x - x 0 - f ' x 0 < 1 2 f ' x 0 - m

Multiplicando por x - x 0 :

x - x 0 f x - f x 0 x - x 0 - f ' x 0 < 1 2 f ' x 0 - m x - x 0

x - x 0 f x - f x 0 x - x 0 - f ' x 0 < 1 2 h x - g x x - x 0 x - x 0

f x - f x 0 - f ' x 0 x - x 0 < 1 2 h x - g x

g x < 1 2 h x - g x

2 g x < h x - g x

Passo 3

Agora vamos usar a Desigualdade Triangular a + b ≤ a + b :

2 g x < h x + - g x

2 g x < h x + - g x ≤ h x + g x

g x < h x

Temos então g x < h x , assim f x está mais próximo de f x 0 + f ' x 0 x - x 0 do que de f x 0 + m x - x 0 . Portanto a reta tangente fornece uma aproximação melhor de f x do que qualquer outra reta que passe por x 0 , f x 0 .

E qualquer reta que não passe por esse ponto fornece uma aproximação ainda pior para x próximo de x 0 , assim a linha tangente fornece a melhor aproximação linear.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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