Suponha que uma função f seja diferenciável em x 0 . Modifique o argumento do Exercício 53 para provar que a reta tangente ao gráfico de f no ponto P x 0 , f x 0 fornece a melhor aproximação linear de f em P . [Sugestão: Suponha que y = f x 0 + m x - x 0 seja uma reta qualquer que passe pelo ponto P x 0 , f x 0 com inclinação m ≠ f ' x 0 . Aplique a Definição 1.4 . 1 a 5 com x = x 0 + h e ϵ = 1 2 f ' x 0 - m .]

Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.2 - Ex. 54

Suponha que uma função seja diferenciável em . Modifique o argumento do Exercício para provar que a reta tangente ao gráfico de no ponto fornece a melhor aproximação linear de em . [Sugestão: Suponha que seja uma reta qualquer que passe pelo ponto com inclinação . Aplique a Definição a com e .]

Passo 1

Vamos lá, sendo e da forma abaixo:

Vamos subtrair as duas:

Passo 2

Observe que obtemos:

Temos então que se , existe tal que se então:

Multiplicando por :

Passo 3

Agora vamos usar a Desigualdade Triangular :

Temos então , assim está mais próximo de do que de . Portanto a reta tangente fornece uma aproximação melhor de do que qualquer outra reta que passe por .

E qualquer reta que não passe por esse ponto fornece uma aproximação ainda pior para próximo de , assim a linha tangente fornece a melhor aproximação linear.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Explique a relação entre continuidade e derivabilidade.

Mostre que f x = x 2 + 2 ,x ≤ 1 x + 2 ,x1 é contínua, mas não diferenciável em x = 1 . Esboce o gráfico de f .

Mostre que f x = x 2 sen ⁡ 1 x ,x ≠ 0 0 ,x = 0 é contínua e diferenciável em x = 0 . Esboce o gráfico de f na vizinhança de x = 0 .

Explique um parágrafo explicando o que significa uma função ser derivável. Inclua exemplos de funções que não sejam deriváveis, bem como exemplos de funções que sejam deriváveis.

Mostre que f x = x 2 + 1 ,x ≤ 1 2 x ,x1 é contínua e diferenciável em x = 1 . Esboce o gráfico de f .