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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.6 - Ex. 4.f

4. Verificar que as integrais são independentes do caminho de integração e determinar seus valores.

f) ∫ - 1,0 , 0 1 , 1,1 [ e y d x + x e y + e z d y + y e z - 2 e - 2 z d z ]

Passo 1

Vamos começar calculando as derivadas parciais de primeira ordem para saber se é conservativo.

Sendo

f 1 = e y

f 2 = x e y + e z

f 3 = y e z - 2 e - 2 z

As derivadas

∂ f 1 ∂ y = e y

∂ f 2 ∂ x = e y

∂ f 1 ∂ z = 0

∂ f 3 ∂ x = 0

∂ f 2 ∂ z = e z

∂ f 3 ∂ y = e z

Como ∂ f 1 ∂ y = ∂ f 2 ∂ x = e y ,   ∂ f 1 ∂ z = ∂ f 3 ∂ x = 0   e ∂ f 2 ∂ z = ∂ f 3 ∂ y = e z , então é conservativo.

Passo 2

Agora vamos determinar a função potencial u(x,y,z).

Temos

∂ u ∂ x = e y                 1

∂ u ∂ y = x e y + e z                 2

∂ u ∂ z = y e z - 2 e - 2 z                     3

Integrando a equação (1) em relação a x, ficamos com

u = ∫ e y   d x

u = e y x + a y , z

Obs: aqui a y , z é a constante de integração (ela é constante em relaçao a x)

Agora derivamos esse resultado em relação a y

∂ u ∂ y = e y x + ∂ a ∂ y

Se compararmos agora com a equação (2), percebemos que

∂ a ∂ y = e z

Integrando esse último resultado em relação a y, ficamos com

a = e z y + b z

Substituindo na expressão de u

u = e y x + e z y + b z

Derivando esse resultado em relação a z

∂ u ∂ z = e z y + ∂ b ∂ z

Comparando com a equação (3), temos que

∂ b ∂ z = - 2 e - 2 z

Integrando esse último resultado em relação a z, ficamos com

b = e - 2 z + C

Onde C é a constante de integração final.

Substituindo na expressão de u

u = e y x + e z y + e - 2 z + C

Por final, temos

∫ - 1,0 , 0 1,1 , 1 [ e y d x + x e y + e z d y + y e z - 2 e - 2 z d z ] = u 1 , 1 , 1 - u - 1 , 0 , 0

= ( e 1 × 1 + e 1 × 1 + e - 2 + C ) - ( e 0 × - 1 + e 0 × 0 + e - 2 × 0 + C )

= e + e + e - 2 + C + 1 - 1 - C

= 2 e + e - 2

Resposta

2 e + e - 2

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