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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.6 - Ex. 6

6. Calcular ∫ C 2 x z + y 2 d x + 2 x y d y + x 2 d z , onde C é a intersecção das superfícieis z = x 2 + y 2 e x + y = 2   do ponto A(2,0,4) a B(0,2,4).

Passo 1

Vamos começar calculando as derivadas parciais de primeira ordem para saber se é conservativo.

Sendo

f 1 = 2 x z + y 2

f 2 = 2 x y

f 3 = x 2

As derivadas

∂ f 1 ∂ y = 2 y

∂ f 2 ∂ x = 2 y

∂ f 1 ∂ z = 2 x

∂ f 3 ∂ x = 2 x

∂ f 2 ∂ z = 0

∂ f 3 ∂ y = 0

Como ∂ f 1 ∂ y = ∂ f 2 ∂ x = 2 y ,   ∂ f 1 ∂ z = ∂ f 3 ∂ x = 2 x   e ∂ f 2 ∂ z = ∂ f 3 ∂ y = 0 , então é conservativo.

Passo 2

Agora vamos determinar a função potencial u(x,y,z).

Temos

∂ u ∂ x = 2 x z + y 2                 1

∂ u ∂ y = 2 x y                 2

∂ u ∂ z = x 2                     3

Integrando a equação (1) em relação a x, ficamos com

u = ∫ 2 x z + y 2   d x

u = x 2 z + x y 2 + a y , z

Obs: aqui a y , z é a constante de integração (ela é constante em relaçao a x)

Agora derivamos esse resultado em relação a y

∂ u ∂ y = 2 x y + ∂ a ∂ y

Se compararmos agora com a equação (2), percebemos que

∂ a ∂ y = 0

Então a é constante em relação a y também, então podemos escrever a z .

Substituindo na expressão de u

u = x 2 z + x y 2 + a z

Derivando esse resultado em relação a z

∂ u ∂ z = x 2 + ∂ a ∂ z

Comparando com a equação (3), temos que

∂ a ∂ z = 0

Então a é constante em relação a z também, então podemos escrever C .

Onde C é a constante de integração final.

Substituindo na expressão de u

u = x 2 z + x y 2 + C

Por final, temos

∫ C 2 x z + y 2 d x + 2 x y d y + x 2 d z = u 0,2 , 4 - u 2,0 , 4

= ( 0 2 × 4 + 2 × 0 2 + C ) - ( 2 2 × 4 + 2 × 0 2 + C )

= 0 + C - 16 - C

= - 16

Resposta

-16

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