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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.6 - Ex. 1

O que você pode dizer sobre a serie ∑ a n nos casos:

  1. lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 8

  2. lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 0,8

  3.   lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 1

Passo 1

Beleza galerinha?! Em outras palavras a questão quer saber se as séries convergem, divergem, absolutamente convergem ou condicionalmente convergem.

Aqui vemos que em cada uma das alternativas foi aplicado o teste da razão. De fato, o exercício nem nos fornece quem é a série, ele nos apresenta diretamente o resultado do teste da razão. O que simplifica e muito a nossa vida.Claro que é necessário nos lembrarmos o que o teste da razão diz sobre a convergência/divergência de séries.Veja:

Pelo teste da razão, temos que:

  1. Uma série é absolutamente convergente, (toda série absolutamente convergente é convergente) se lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n < 1  

  2. Se lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n > 1 a série é divergente.

Você deve estar se perguntando: “E se o limite for exatamente igual a 1 ?” Bom... nesse caso meu amigo, não podemos dizer nada sobre a convergência da série.

Passo 2

  1. lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 8

    2. O limite tende para um valor fixo maior que 1 . Pelo teste da razão temos que a série diverge.

    Passo 3

  2. lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 0,8

    3. O limite tende para um valor fixo menor que 1 . Pelo teste da razão temos que a série é absolutamente convergente (e, portanto, convergente, pois toda série absolutamente convergente é convergente.)

    Passo 4

  3. lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 1

Bem... essa situação é um pouco mais complicada. Quando o limite tende a 1 o teste da razão não é suficiente para sabermos a situação da série. Ou seja, é inconclusivo.

Resposta

Em (a) a serie diverge, em (b) a serie converge e em (c) o teste e inconclusivo.

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