Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.3 - Ex. 40
Quantos termos da série você precisaria somar para encontrar sua soma com precisão de 0,01?
Passo 1
Bom, pessoal, o que o enunciado quer basicamente é que calculemos o valor para que .
Em outras palavras para que nossa estimativa do valor da soma de:
tenha uma variação máxima de 0,01.
Ou seja, um erro de, no máximo, , de modo que se arredondaria o valor em e, portanto, assegurando a precisão desejada.
Para calcular o erro , temos:
Caso não se lembre, quando temos uma integral imprópria, que é o nosso caso, para resolvermos temos que aplicar o seguinte limite:
Show de bola! Chega de blá-blá-blá e vamos calcular o .
Passo 2
Já sabemos que:
Pelo método da substituição escolhemos:
Substituindo na integral, temos:
Voltando aos termos iniciais da nossa integral:
Retornando à nossa integral imprópria, aplicarmos o limite no resultado da integral com seus limites de integração:
Resolvendo o limite, temos que o primeiro termo vai para zero, pois seu denominador cresce muito. O segundo termo é constante, pois não depende de e o valor do seu limite é seu próprio valor, então:
Ou seja:
Como vimos no Passo 1, queremos que o nosso erro na aproximação seja menor que . Logo,
Resolvendo a inequação, temos:
Ou seja, precisaríamos de muitos termos para atingir essa precisão, o que não é nenhum pouco viável.