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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.2 - Ex. 68

O volume de água em um tanque é V m³ quando a profundidade é h m. Se a taxa de variação de V em relação a h for dada por d V d h = π ( 2 h + 3 ) 2 , ache o volume de água no tanque quando a profundidade for 3 m.

Passo 1

Uma interpretação da derivada é a que ela representa a variação de uma grandeza em relação a outra. No caso desse exercício, a grandeza que varia é o volume do tanque com a profundidade. Como dado no enunciado, o volume do tanque cresce de acordo com a fórmula d V d h = π ( 2 h + 3 ) 2 . Nos foi pedido o valor de V(h) quando a profundidade for de 3 metros. Vamos montar nosso problema abaixo.

V h = ∫ d V Como podemos obter dV para substituirmos na integral e encontrar o volume do tanque? Através da relação da corrente que nos foi dada!

d V d h = π ( 2 h + 3 ) 2

Agora temos todas as informações para resolver o problema!

V h = ∫ π ( 2 h + 3 ) 2 d h

Passo 2

Resolvendo a integral temos:

V h = ∫ π ( 2 h + 3 ) 2 d h

Vamos fazer aqui uma substituição de variáveis. Seja u = 2 h + 3 . Derivando dos dois lados temos:

d u = 2 d h   ↔ d u 2 = d h

Substituindo na integral:

V u = ∫ π u 2 d u 2

V u = π 2 u 3 3 + K V h = π 6 ( 2 h + 3 ) 3 + K

Passo 3

Uma vez obtida a expressão para o volume do tanque, vamos aplicar o valor inicial dado no enunciado para descobrirmos quanto vale a constante K. Assim,

V 0 = 0 V 0 = π 6 ( 2 * 0 + 3 ) 3 + K = 0 π 6 ( 3 ) 3 + K = 0 27 π 6 + K = 0 K = - 27 π 6 = - 9 π 2

Portanto,

V h = π 6 ( 2 h + 3 ) 3 - 9 π 2

Passo 4

O enunciado pede o volume do tanque quando a profundidade for 3 metros, ou seja, quando h = 3 . Logo,

V 3 = π 6 2 * 3 + 3 3 - 9 π 2 V 3 = π 6 9 3 - 9 π 2 V 3 = 81 * 9 π 6 - 9 π 2 V 3 = 234 π 2 V 3 = 117 π   m ³

Resposta

O volume do tanque quando h = 3 é:

V 3 = 117 π   m ³

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