Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.2 - Ex. 68
O volume de água em um tanque é V m³ quando a profundidade é h m. Se a taxa de variação de V em relação a h for dada por , ache o volume de água no tanque quando a profundidade for 3 m.
Passo 1
Uma interpretação da derivada é a que ela representa a variação de uma grandeza em relação a outra. No caso desse exercício, a grandeza que varia é o volume do tanque com a profundidade. Como dado no enunciado, o volume do tanque cresce de acordo com a fórmula . Nos foi pedido o valor de V(h) quando a profundidade for de 3 metros. Vamos montar nosso problema abaixo.
Como podemos obter dV para substituirmos na integral e encontrar o volume do tanque? Através da relação da corrente que nos foi dada!
Agora temos todas as informações para resolver o problema!
Passo 2
Resolvendo a integral temos:
Vamos fazer aqui uma substituição de variáveis. Seja . Derivando dos dois lados temos:
Substituindo na integral:
Passo 3
Uma vez obtida a expressão para o volume do tanque, vamos aplicar o valor inicial dado no enunciado para descobrirmos quanto vale a constante K. Assim,
Portanto,
Passo 4
O enunciado pede o volume do tanque quando a profundidade for 3 metros, ou seja, quando . Logo,
Resposta
O volume do tanque quando é: