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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.4 - Ex. 15

Determinar a massa total e o centro de massa.

15. O comprimento da barra é 9mm e a densidade linear da barra em um ponto a xm de um extremo é (4x+1)g/mm.

Passo 1

Para encotrar a massa total usaremos a seguinte relação:

M t = ∫ 0 l ρ ( x ) d x

Onde nessa equação 𝞀 é a densidade do corpo e l é o comprimento da barra.

Com isso temos que a massa total pode ser expressa pela seguinte relação:

M t = ∫ 0 9 ( 4 x + 1 ) d x

Isso é, a massa total vai ser a integral da densidade.

M t = 4 2 x 2 + x 0 9  

M t = ( 2 ( 9 ) 2 + ( 9 ) ) - ( 0 2 + 0 )

M t = 171 g

Achamos então a massa total da barra.

Passo 2

Para achar o centro de massa usaremos a seguinte relação:

x - = ∫ 0 l x ρ ( x ) M t

Onde l é o comprimento da barra e ρ ( x ) é a densidade.

Portanto temos a seguinte equação para o centro de massa:

x - = ∫ 0 9 x ( 4 x + 1 ) d x 171

x - = 1 171 ∫ 0 9 ( 4 x 2 + x ) d x  

x - = 1 171 4 x 3 3 + x 2 2 | 0 9  

x - = 1 171   4 9 3 3 + 9 2 2

x - = 985,5 171  

x - = 5,76   m m

Resposta

Centro de massa: x - = 5,76   m m

Massa total:

M = 171 g

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