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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.6 - Ex. 12

Calcule a integral definida

int_(- 1)^2 ( 5 x^2 + (1)/(3) x - (1)/(2) ) d x

usando os resultados:

int_(- 1)^2 x^2 d x = 3 int_(- 1)^2 x d x = (3)/(2)

Passo 1

Queremos decompor a integral dada, colocando-a em termos de int_(- 1)^2 x^2 d x e int_(- 1)^2 x d x pra substituirmos pelos valores dados pelo enunciado. Pra isso, precisamos lembrar de uma propriedade importantíssima das integrais:

Se as funções f e g forem integráveis no intervalo [ a , b ] então f + g será integrável no intervalo [ a , b ] e:

int_a^b [f (x) + g (x)] d x = int_a^b f (x) d x + int_a^b g (x) d x

Ou seja, podemos separar as funções e integrá-las uma a uma! Uma outra propriedade diz que:

int_a^b k f (x) d x = k int_a^b f (x) d x

Esta outra nos permite tirar um número constante de dentro da integral. Agora, já podemos resolver o exercício, separando a integral e a colocando em função de int_(- 1)^2 x^2 d x e int_(- 1)^2 x d x .

Passo 2

Primeiro, usando a primeira propriedade separamos a integral em três:

int_(- 1)^2 (5 x^2 + (1)/(3) x - (1)/(2)) d x = int_(- 1)^2 5 x^2 d x + int_(- 1)^2 (1)/(3) x d x - int_(- 1)^2 (1)/(2) d x

Agora, tirando as constantes de dentro das integrais:

int_(- 1)^2 5 x^2 d x + int_(- 1)^2 (1)/(3) x d x - int_(- 1)^2 (1)/(2) d x = 5 int_(- 1)^2 x^2 d x + (1)/(3) int_(- 1)^2 x d x - (1)/(2) int_(- 1)^2 d x

Já temos então o que queríamos, basta resolver o resto por substituição direta dos dados do problema.

Passo 3

Usando os dados do problema e substituindo, chegamos no resultado final

5 int_(- 1)^2 x^2 d x + (1)/(3) int_(- 1)^2 x d x - (1)/(2) int_(- 1)^2 d x = 5 * 3 + (1)/(3) * (3)/(2) - (1)/(2) * ( 2 - (- 1) )

= 15 - (1)/(2) - (1)/(2) * 3 = 15 - (1)/(2) - (3)/(2) = 15 - (2)/(2) = 14 .

Resposta

int_(- 1)^2 (5 x^2 + (1)/(3) x - (1)/(2)) d x = 14

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