Introdução aos vetores e as matrizes
Produzido por Marcelo LuizTeoria
Introdução aos vetores
Falaa galerinhaaa, você já deve ter escutado muito sobre a palavra grandezas.
As grandezas estão relacionadas com aquilo que se pode ser medido, ou contado.
Por exemplo, quando você quer comprar de fita, você está utilizando uma grandeza escalar .
Esse tipo de grandeza é representado somente por um valor numérico e saber esse valor numérico já é bastante para nós.
Agora existem situações em que apenas o valor numérico não é o suficiente, como a velocidade, não basta apenas saber qual é seu valor numérico (que aqui chamaremos de módulo). Nós queremos saber também qual é a direção e o sentido na qual o carro está indo
É pra isso que existem os vetores, eles trazem mais informações para as grandezas escalares que vemos normalmente.
Representação de um vetor
O vetor é representado por meio de uma seta, que começa em um ponto e termina em outro.
Por exemplo:
Dá uma olhada que esse vetor começa no ponto O, que é chamado de origem, e termina no ponto P que é chamado de extremidade.
A notação que temos para um vetor é uma letra minúscula com uma seta em cima, ou seja :
Também podemos escrever usando os pontos de origem e extremidade:
Quando quisermos saber o valor da coordenada que representa o vetor fazemos o ponto da extremidade menos o ponto da origem. Ou seja:
Agora observa que, usar essa seta nos mostra o que queríamos saber antes:
- Módulo (comprimento, ou tamanho).
- Direção (posição horizontal, vertical, norte, sul, leste, oeste...)
- Sentido (de O para P).
Tipos de vetores
Agora vamos ver que tipos de vetores existem:
- Vetores iguais
Dois ou mais vetores são iguais quando possuem o mesmo módulo, direção e sentido.
- Vetores Opostos
- Vetor unitário:
- Vetores colineares :
- Vetores coplanares:
- Matriz nula:
- Matriz coluna:
- Matriz linha:
- Matriz quadrada:
- Matriz identidade:
- Matriz transposta:
Dois ou mais vetores são opostos quando possuem o mesmo módulo e direção. Mas o sentido é contrário.
Quando o módulo do vetor é um, temos um vetor unitário.
Dizemos que dois ou mais vetores são colineares se eles possuem a mesma direção, eles podem estar paralelos ou na mesma reta ( um embaixo e outro em cima).
Quando dois ou mais vetores estão no mesmo plano, dizemos que eles são coplanares.
Dois vetores sempre são coplanares, porém 3 já podem não ser mais.
Introdução às matrizes
Dá uma olhadinha nisso aqui:
Você já deve ter se deparado alguma vez com algo parecido, bom isso é o que chamamos de Matriz.
Uma matriz pode ser encarada como uma tabela, com m linhas e n colunas.
Nesse caso temos duas linhas e duas colunas, e cada um desses elementos, nós chamamos de termos da matriz.
E ela pode ser vista como uma tabela, por exemplo, a quantidade de alunos de duas turmas que participaram de uma palestra que ocorreu no período matutino e vespertino.
Representação genérica de uma matriz
Cada um dos termos da matriz vai ter uma “localização’’ própria dentro dela. Por isso é usado a notação:
é a linha onde o termo se encontra, e é a coluna.
Assim, uma matriz de forma mais geral é:
Essa matriz tem apenas três linhas e três colunas. Mas essa ideia de cada termo vale para qualquer matriz.
Aaaah, mais uma coisinha:
Uma matriz tem a seguinte notação:
Ou seja, é sempre uma letra maiúscula, com o índice , onde é a quantidade de linhas e é a quantidade de colunas. Além disso, sua leitura é feita da seguinte forma: “matriz por ”.
Em alguns exercícios eles vão nos dar o termo geral da matriz e vão pedir para montá-la.
Por exemplo:
Monte a matriz , tal que:
Note que a matriz vai ter 2 linhas e 2 colunas, assim a forma geral dela é;
O termo geral diz que quando , o valor do termo é 1, e se , o valor do termo passa a ser 0.
Vamos fazer cada elemento, primeiro:
Temos que e , logo eles são iguais, assim nosso termo fica:
Segundo:
Temos que e , logo eles são diferentes, assim nosso termo fica:
Terceiro:
Temos que e , logo eles são diferentes, assim nosso termo fica:
Quarto:
Temos que e , logo eles são iguais, assim nosso termo fica:
Terminamos todos os termos, agora vamos montar nossa matriz:
É isso, então você monta os termos a partir do termo geral que foi dado no exercício.
Tipos de matrizes
Vamos ver os tipos mais utilizados de matrizes:
Todos os elementos da matriz nula é igual a 0, independente de quantas linhas ou coluna temos. Exemplos:
É uma matriz formada por apenas uma coluna. Exemplos:
É formada por apenas uma linha. Exemplo:
Essa é uma matriz, muito importante, ela possui o número de linhas igual ao número de colunas (m=n), por exemplo:
Note que usamos só um índice, para fazer o . E dizemos matriz de ordem 3, ou ordem n.
É a matriz quadrada de ordem n, que todos os elementos da diagonal principal vale 1, e o resto vale 0.
A diagonal principal começa no primeiro termo ( e segue na diagonal (. E é representada pela letra I, e o índice é a ordem da matriz.
Exemplo:
Dado uma matriz , a sua transposta é a troca de linha com colunas.
Ou seja:
Sua transposta é :
Ou seja, primeira linha vira primeira coluna, e assim vamos fazendo a troca.
É isso galeraaa, partiu exercícios.