Teoria

Soma entre vetores- regra do paralelogramo

Fala minha genteee, já vimos o que é um vetor, e agora vamos ver algumas operações que podemos fazer com eles.

Para a soma, temos duas opções:

  • Regra do paralelogramo
  • Fechamento do triângulo

Vamos começar, imagine dois vetores:

E você quer fazer a soma deles, tá MAS COMO ?

Primeiro vamos usar a regra do paralelogramo:

A ideia é a seguinte, primeiro você vai colocar os vetores saindo de uma mesma origem. Lembrando que se não mudarmos nem o módulo, nem a direção e nem o sentido de um vetor, ele continua sendo igual.

Então, vamos arrastar os vetores para deixar eles com a mesma origem, lembrando-se de não mudar nenhuma das características do vetor que queremos (basicamente só vamos “desenhar” ele em outro lugar).

Feito isso, agora vamos fazer uma reta tracejada paralela ao vetor u → , que começa na extremidade do vetor · .

Agora, também fazemos uma linha tracejada, mas agora paralelo ao vetor v → , e que começa na extremidade do vetor u → :

Essa figura que acabamos de formar é um paralelogramo, é por isso que tem esse nome hahaha.

A soma desses vetores é a reta que começa na origem O e termina no encontro das linhas tracejadas:

E nesse caso, se quisermos saber o valor do módulo (comprimento) da soma, vamos usar essa formulazinha aqui (vamos chamar o vetor u → + v → de R → ):

R 2 = u 2 + v 2 + 2 × u × v × c o s θ

Onde:

R é o módulo da soma

u e v são os módulos de cada um dos vetores.

θ é o ângulo entre os vetores u e v (quando ambos estão na mesma origem).

EX:

Dois vetores têm direções perpendiculares, u → com módulo 3 e v →   com módulo 5, calcule o vetor resultante :

Pela regra do paralelogramo, vamos usar a fórmula

R 2 = u 2 + v 2 + 2 × u × v × c o s θ

Onde temos :

u = 3

v = 5

θ = 90 ° ou perpendicular.

R 2 = 3 2 + 5 2 + 2 × 3 × 5 × c o s 90

Como temos que cos ⁡ 90 = 0 ,

R 2 = 9 + 25

R = 34

Prontinho então a regra do paralelogramo tem os seguintes passos;

1º Colocar os vetores saindo de uma mesma origem

2º Fazer as linhas tracejadas

3º Encontrar o vetor correspondente a soma

Soma entre vetores- regra do fechamento do triangulo

A segunda maneira de resolver é por meio do fechamento do triangulo:

Vamos usar os mesmos vetores

Agora ao invés de colocar ambos saindo de uma mesma origem, vamos colocar um dos vetores saindo da extremidade do outro:

Se quisermos colocar o vetor v → na extremidade do u → , também da certo.

Feito isso a soma é o vetor que começa na origem do primeiro vetor e que termina na extremidade do ultimo, ou seja,

:

Nós realmente fechamos para formar um triangulo.

Se quisermos saber o módulo da soma usamos :

R 2 = u 2 + v 2 - 2 × u × v × c o s θ

Onde :

R é o módulo da soma

u e v são os módulos de cada um dos vetores.

θ   é o ângulo entre os vetores u e v.

Subtração entre vetores:

Agora, queremos subtrair os vetores:

Ou seja, queremos saber quanto é u → - v → , para resolver temos que lembrar que

- v →

É o vetor oposto de v → , ou seja, eles têm mesmo módulos e direção, mas sentidos contrários.

Assim basta vermos essa diferença como uma soma:

u → + ( - v → )

Ai é só inverter a direção da seta do vetor v → no desenho, e depois é só resolver a soma.

Multiplicação por um escalar:

Um escalar é um número qualquer que estamos acostumados ( 1, 8, -7 ...)

Quando multiplicamos um vetor por um escalar, ele apenas vai mudar seu tamanho e o resultado do módulo vai ser o escalar multiplicado do módulo do próprio vetor.

Ex:

Ou seja, se temos um vetor u → , e queremos multiplica-lo por 2. Nós fazemos ele com o dobro do seu tamanho. E seguimos essa ideia para todo escalar.

E se for dado o valor do módulo vetor e quiser saber o valor do resultado do módulo de 2 u → , vamos simplesmente multiplicar o módulo pelo escalar.

Por exemplo:

u = 3

2 u = 2 × 3 = 6

É isso, partiu exercíciosss ^~^

Soma entre vetores- regra do fechamento do triangulo

Subtração entre vetores:

Multiplicação por um escalar:

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