Lei dos Senos e Lei dos Cossenos
Produzido por Marcelo LuizTeoria
Introdução
Nesse texto, vamos falar de duas leis bem importantes no estudo da trigonometria e que vão nos ajudar na solução de diversos problemas. Vamos começar pela lei dos senos e depois caminhar para as leis dos cossenos.
Lei dos Senos
A lei dos senos não tem muito mistério, mas vamos dividi-la em duas partes para ficar mais fácil de entender o seu conceito. Imagine que temos um triângulo qualquer, pode ser qualquer triângulo mesmo.
Não, você não.
Pode ser isósceles, equilátero, retângulo ou qualquer outro rótulo, como abaixo:
Temos um triângulo qualquer com ângulos e e os lados , e Veja que o lado é oposto ao ângulo , pois aponta para . O mesmo vale para que é o lado oposto ao ângulo e oposto a .
A primeira parte da lei dos senos diz que a razão entre um lado oposto e seu ângulo é sempre igual para todo o triângulo. Em outras palavras:
Até aí tudo bem? Sabemos que a razão entre um lado oposto e seu ângulo é sempre igual, mas qual o valor dessa razão? Essa é a motivação para a segunda parte da lei.
Para chegar nesse resultado, imagine que o triângulo está dentro de uma circunferência e todos seus vértices fazem parte desta circunferência, ou seja, tocam nela:
Quando isso acontece dizemos que o triângulo está inscrito na circunferência ou é um triângulo circunscrito. A razão entre o lado oposto e seu ângulo será sempre no triângulo e igual ao diâmetro, ou duas vezes o raio, de uma circunferência em que é possível inscrever o triângulo:
Se um triângulo tem ângulos , , com respectivos lados opostos , e e pode ser inscrito numa circunferência de raio , então:
Lei dos cossenos
Lembra do Teorema de Pitágoras, né? Ele diz que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Esse Teorema é realmente muito bom e nos ajuda bastante quando temos dois lados de um triângulo retângulo e queremos achar o terceiro.
Repare, porém, que o triângulo tem que ser um triângulo retângulo. Mas e se precisarmos calcular o terceiro lado de um triângulo que não é retângulo? Aí jovem, entra a lei dos cossenos, que permite qualquer um terceiro lado de qualquer triângulo sabendo seu ângulo oposto e os outros dois.
Para ilustrar, observe o triângulo abaixo:
Se quisermos calcular conhecendo os outros lados e e o ângulo oposto , usamos a Lei dos Cossenos, que diz:
Ou seja, o quadrado de um lado de um triângulo qualquer é a soma do quadrado dos outros dois lados menos duas vezes o produto deles com o cosseno do ângulo oposto.
Repare que quando temos um triângulo retângulo, ainda podemos aplicar a lei dos cossenos.
Para a hipotenusa, teríamos:
Como o ângulo oposto a hipotenusa é e , tudo se resume a:
Que é o bom e velho Teorema de Pitágoras. Dessa maneira, o Teorema de Pitágoras passa a ser um caso particular da lei dos cossenos para quando o triângulo é um triângulo retângulo.
Conseguiu pegar? É importante nos acompanhar nos exercícios agora para colocar em prática tudo que foi visto. Vamos lá!