Teoria

Introdução

Nesse texto, vamos falar de duas leis bem importantes no estudo da trigonometria e que vão nos ajudar na solução de diversos problemas. Vamos começar pela lei dos senos e depois caminhar para as leis dos cossenos.

Lei dos Senos

A lei dos senos não tem muito mistério, mas vamos dividi-la em duas partes para ficar mais fácil de entender o seu conceito. Imagine que temos um triângulo qualquer, pode ser qualquer triângulo mesmo.

Não, você não.

Pode ser isósceles, equilátero, retângulo ou qualquer outro rótulo, como abaixo:

Temos um triângulo qualquer com ângulos  ,   B ^ e C ^ e os lados a , b e c Veja que o lado a é oposto ao ângulo  , pois  aponta para a . O mesmo vale para b que é o lado oposto ao ângulo B ^ e c oposto a C ^ .

A primeira parte da lei dos senos diz que a razão entre um lado oposto e seu ângulo é sempre igual para todo o triângulo. Em outras palavras:

a sen ⁡ Â = b sen ⁡ B ^ = c sen ⁡ C ^

Até aí tudo bem? Sabemos que a razão entre um lado oposto e seu ângulo é sempre igual, mas qual o valor dessa razão? Essa é a motivação para a segunda parte da lei.

Para chegar nesse resultado, imagine que o triângulo está dentro de uma circunferência e todos seus vértices fazem parte desta circunferência, ou seja, tocam nela:

Quando isso acontece dizemos que o triângulo está inscrito na circunferência ou é um triângulo circunscrito. A razão entre o lado oposto e seu ângulo será sempre no triângulo e igual ao diâmetro, ou duas vezes o raio, de uma circunferência em que é possível inscrever o triângulo:

a sen ⁡ Â = b sen ⁡ B ^ = c sen ⁡ C ^ = 2 R

Se um triângulo tem ângulos  , B ^ , C ^ com respectivos lados opostos a , b e c e pode ser inscrito numa circunferência de raio R , então:

a sen ⁡ Â = b sen ⁡ B ^ = c sen ⁡ C ^ = 2 R

Lei dos cossenos

Lembra do Teorema de Pitágoras, né? Ele diz que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Esse Teorema é realmente muito bom e nos ajuda bastante quando temos dois lados de um triângulo retângulo e queremos achar o terceiro.

Repare, porém, que o triângulo tem que ser um triângulo retângulo. Mas e se precisarmos calcular o terceiro lado de um triângulo que não é retângulo? Aí jovem, entra a lei dos cossenos, que permite qualquer um terceiro lado de qualquer triângulo sabendo seu ângulo oposto e os outros dois.

Para ilustrar, observe o triângulo abaixo:

Se quisermos calcular c conhecendo os outros lados a e b e o ângulo oposto C ^ , usamos a Lei dos Cossenos, que diz:

c 2 = a 2 + b 2 - 2 a b cos ⁡ C ^

Ou seja, o quadrado de um lado de um triângulo qualquer é a soma do quadrado dos outros dois lados menos duas vezes o produto deles com o cosseno do ângulo oposto.

Repare que quando temos um triângulo retângulo, ainda podemos aplicar a lei dos cossenos.

Para a hipotenusa, teríamos:

h 2 = C O 2 + C A 2 - 2 C O C A cos ⁡ 90 º

Como o ângulo oposto a hipotenusa é 90 º e cos ⁡ 90 º = 0 , tudo se resume a:

h 2 = C O 2 + C A 2

Que é o bom e velho Teorema de Pitágoras. Dessa maneira, o Teorema de Pitágoras passa a ser um caso particular da lei dos cossenos para quando o triângulo é um triângulo retângulo.

Conseguiu pegar? É importante nos acompanhar nos exercícios agora para colocar em prática tudo que foi visto. Vamos lá!

Lei dos cossenos