Teoria

Introdução

Vamos falar agora de trigonometria. O nome pode assustar um pouco, mas não tem nada demais. Basicamente, é o estudo das relações de um triângulo retangulo. Mas o que que eu tenho a ver com as relações desse cara?

Calma, calma. Além do triângulo retângulo ser importante por sí só, seu estudo ajuda a compreender outros fenômenos, como ondas, distâncias e circuferências. Então se ajeita na cadeira e vamos lá!

Relações trigonométricas

Vamos começar então. O triângulo retângulo é um triângulo que tem um dos ângulos igual a 90 º como o triângulo abaixo:

O ângulo representado pelo quadrado é o ângulo de 90 º e φ vai ser o nosso ângulo de análise. A partir dele, temos:

Onde cateto oposto é o lado para qual o ângulo de análise φ aponta.

Já o cateto adjacente é o lado que forma tanto o ângulo φ quanto o ângulo 90 º .

A hipotenusa, por sua vez, é a reta que liga o cateto oposto e o cateto adjacente. Para ficar mais bonito na hora representar algebricamente, vamos chamar o cateto oposto de C O , cateto adjacente de C A e a hipotenusa de h mesmo.

Beleza? A partir disso, podemos definir: sen ⁡ φ = C O h cos ⁡ φ = C A h tg ⁡ φ = C O C A

Que pode ser lido como seno de φ , cosseno de φ e tangente de φ , sempre referido ao ângulo em questão.

Temos também que, associado a isso:

cossec ⁡ φ = 1 sen ⁡ φ = h C O sec ⁡ φ = 1 cos ⁡ φ = h C A cotg ⁡ φ = 1 tg ⁡ φ = C A C O

Que pode ser lido como cossecante de φ , secante de φ e cotangente de φ . Não vá pensar que a secante é 1 sobre seno só porque começa com se hein?! A secante é 1 sobre cosseno! (Dica: se ficar em dúvida, pensa na 3ᵃ letra da palavra: a 3ᵃ letra de secante é c, então é inverso do cosseno. A 3ᵃ letra de cossecante é s, então é o inverso do seno. )

Vamos prosseguir? Veja que:

sen ⁡ φ = C O h ⟹ C O = h ⋅ sen ⁡ φ

cos ⁡ φ = C A h ⟹ C A = h ⋅ cos ⁡ φ

Substituindo esses valores na tangente:

tg ⁡ φ = C O C A = h ⋅ sen ⁡ φ h ⋅ cos ⁡ φ ⟹ tg ⁡ φ = sen ⁡ φ cos ⁡ φ

A mesma ideia segue para a cotangente também:

cotg ⁡ φ = cos ⁡ φ sen ⁡ φ

Opa! Vamos embalar agora. Lembra do Teorema de Pitágoras? Ele diz que:

h 2 = C O 2 + C A 2

Também substituindo:

h 2 = h ⋅ sen ⁡ φ 2 + h ⋅ cos ⁡ φ 2 ⟹ h 2 = h 2 sen 2 ⁡ φ + cos 2 ⁡ φ

Dividindo tudo por h 2 , chegamos na Relação Fundamental da Trigonometria:

sen 2 ⁡ φ + cos 2 ⁡ φ = 1

Esse nome imponente não está aí a toa, essa relação é, de fato, muito importante. Lembre dela. Podemos também tirar outras relações a partir dela. Dividindo-a por cos 2 ⁡ φ :

sen 2 ⁡ φ cos 2 ⁡ φ + cos 2 ⁡ φ cos 2 ⁡ φ = 1 cos 2 ⁡ φ ⟹ tan 2 ⁡ φ + 1 = sec 2 ⁡ φ

Da mesma, maneira, se dividirmos tudo por sen 2 ⁡ φ , temos que: cotg 2 ⁡ φ + 1 = cossec 2 ⁡ φ

Senos, cossenos e tangentes notáveis

O seno, cosseno e tangente não possuem uma relação linear, como veremos mais a frente. Isso significa que, por exemplo:

sen ⁡ 60 º = sen ⁡ 2 ⋅ 30 º ≠ 2 sen ⁡ 30 º

Para achar o seno de um ângulo você pode recorrer a boa e velha calculadora ou, quando ela não estiver disponível (julgo sempre quando você precisa) recorrer a uma tabelinha simpática de seno, cosseno e tangente de ângulos comuns nos problemas.

Como a calculadora é o Pokémon raro das provas, você precisa ter a tabelinha bem firme na cabeça! Lá vai:

Se você não se lembra nem do que tomou hoje no café da manhã, não tem problema. Grave somente as colunas do seno e cosseno e lembre que a tangente é razão entre eles.

Se mesmo assim bater um branco e só lembrar de uma coluna, use a relação fundamental da trigometria para achar o resto.

Tudo bem? Nos vemos nos exercícios agora!

Senos, cossenos e tangentes notáveis

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