Porcentagem
Teoria
Introdução
Fala aí, tudo certinho!?
Nesse tópico vamos falar sobre um assunto que está muito presente no nosso cotidiano, a Porcentagem.
Vemos com frequência nas vitrines das lojas anúncios de liquidações com , , ... Sabemos que isso representa uma economia para nosso bolso, mas o que será que isso realmente quer dizer?
O que significa Porcentagem?
Bom, para que haja porcentagem, primeiramente deve haver uma grandeza inicial que representa de algo.
Dessa forma, ao compararmos uma segunda grandeza com a grandeza inicial, achamos a porcentagem de uma em relação a outra.
Deu uma bugada aí? Relaxa que com um exemplo tudo fica mais fácil...
Aplicação
Spoiler: Quando calcularmos porcentagem usamos basicamente Regra de 3.
Olhe esse exemplo:
Uma sala de aula tem ao todo alunos, quantas meninas há na sala sabendo que a porcentagem de menino é de ?
O problema nos dá a quantidade total de alunos na sala, a porcentagem referente a quantidade de meninos e pede para calcularmos o número total de meninas.
Olhe essa tabelinha:
Neste caso alunos representa dos alunos da sala.
Beleza, pergunta para você agora: Você já viu algo parecido com isso em algum lugar?? (olha o Spoiler...)
REGRA DE 3!!!
Precisamos aplicar a regra de 3 para acharmos a quantidade de meninos, e como as grandezas são diretamente proporcionais, basta multiplicarmos cruzado:
Ok, já encontramos o número de meninos através da porcentagem que nos foi dada, mas o problema pediu o número de meninas, logo precisamos fazer uma continha de subtração apenas:
E tá pronto, há um total de 30 meninas na sala.
Se liga no MACETE
Se você é do tipo que adora um macete, essa aqui é especialmente para você
Também podemos ver a porcentagem como e isso é .
Tá, mas o que isso quer dizer?
Quer dizer que os do problema anterior é o mesmo que e isso é .
Ou seja, para encontrar quanto vale de alunos basta fazer:
Sacou!?
Vamos pensar você quer comprar uma roupa de 70 reais, mas ai tu descobre que ela está com de desconto, qual o valor desse desconto?
Usando o macete que temos é que
Como queremos saber o valor desse desconto (, vamos calcular de 70, ou:
Ou seja, a roupa vai ter um desconto de .
Outros problemas envolvendo porcentagem
Acabamos de ver como resolver problemas simples envolvendo porcentagem.
Mas o que fazer quando queremos achar uma porcentagem dentro de outra porcentagem?
Se liga nesse exemplo:
O quintal de uma casa equivale à do terreno total e o proprietário gostaria de construir uma área de churrasqueira equivalente à do quintal. Qual é a porcentagem da área de churrasqueira em relação ao terreno todo?
Aplicação
Nesse problema temos que a área de churrasqueira vale de da área total.
Como vimos anteriormente, e , logo para saber quanto é de precisamos multiplicar as duas porcentagens:
Beleza, mas o que problema pergunta pra gente é a porcentagem, e agora?
Moleza, basta multiplicar por !
A área de churrasqueira equivale à do total do terreno.
Pronto, agora também sabemos resolver esses problemas malucos que dão um nó na nossa cabeça.
E aí meu querido, bora fazer uns exercícios?
Aplicação
Se liga no MACETE
Outros problemas envolvendo porcentagem
Aplicação
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Autoria própria.
Determine qual das afirmativas abaixo está incorreta:
a) de X é o mesmo que
b) 35 corresponde à de .
c) de é o mesmo que ().
d) de é o mesmo que ().
Passo 1
Letra a)
Correta!
Para comprovar isso podemos tomar , desse modo teremos
Ou seja, de , da mesma forma de e assim vai...
Passo 2
Letra b)
Correta!
Nessa alternativa, equivale à e queremos provar que equivale à de , portanto, tomamos e montamos a regra de 3:
Multiplicamos cruzado temos:
Portanto, equivale à de .
Passo 3
Letra c)
Incorreta!
Para sabermos quanto vale precisamos dividir por .
, então, a alternativa está incorreta.
Passo 4
Letra d)
Correta!
Aqui, repetimos o procedimento da letra anterior:
Portanto, a alternativa está correta.
Resposta
Letra c).
Exercício Resolvido #2
Autoria própria.
Uma loja de calçados realizará uma promoção de de desconto em todos os produtos da loja:
a) Qual será o novo valor de um sapato que antes custava reais?
b) Qual será o desconto sobre um sapato que custa reais?
Passo 1
Letra a)
Para saber o preço final do sapato precisamos antes saber de quanto será o desconto.
Temos que
Portanto, para saber o desconto basta multiplicar pelo valor total do sapato:
O desconto será de reais.
Passo 2
Agora precisamos apenas subtrair o valor do desconto no valor inicial do sapato:
Passo 3
Letra b)
Assim como na letra anterior, precisamos encontrar o valor do desconto sobre o produto.
Como já sabemos que , basta multiplicarmos pelo valor total do sapato:
Resposta
a) reais.
b) reais.
Exercício Resolvido #3
Autoria própria.
Após uma pesquisa realizada em uma sala de alunos, descobriu-se que dos alunos preferem jogar futebol, preferem jogar vôlei, preferem jogar queimada e o restante não gostam de nenhum dos três anteriores. Sabendo disso, responda:
a) Quantos alunos preferem jogar vôlei?
b) Quantos alunos preferem jogar futebol ou queimada?
Passo 1
Letra a)
O enunciado nos diz que dos alunos preferem jogar vôlei e que a sala possui um total de alunos.
Temos que .
Ou seja, para sabermos a quantidade de alunos que preferem jogar vôlei basta multiplicarmos pelo total de alunos da sala:
Passo 2
Letra b)
Como o enunciado pede para calcularmos o número de alunos que preferem futebol ou queimada, devemos primeiramente somar a porcentagem de alunos que preferem cada uma das atividades:
Futebol
Queimada
Passo 3
Já achamos que a porcentagem de alunos que preferem futebol ou queimado é de .
Sabemos que .
Sendo assim, devemos multiplicar pelo total de alunos para saber a resposta:
Resposta
a) alunos.
b) alunos.
Exercício Resolvido #4
Autoria própria.
Um comerciante tinha um faturamento de reais ao mês. Devido às compras de natal, seu faturamento aumentou em dezembro. No mês de janeiro o movimento diminuiu e houve uma queda de em relação ao mês de dezembro. Qual foi o faturamento do comerciante no mês de janeiro?
Passo 1
Então, galerinha, nesse exercício nós vamos ter que fazer duas contas de porcentagem. A primeira é para achar o faturamento de dezembro, e baseado nesse valor vamos fazer a nossa segunda conta para calcular o faturamento de janeiro.
Lembra que
Sendo assim, para achar quanto é de , podemos apenas multiplicar pelo faturamento inicial:
Como, ele faturou a mais, agora basta somar o valor encontrado ao faturamento inicial:
Passo 2
Agora vamos usar esse valor como base para calcular o faturamento de janeiro. O raciocínio é análogo ao do passo 1.
O faturamento em janeiro caiu em relação ao mês de dezembro.
Temos que .
Então agora vamos multiplicar pelo faturamento de dezembro para descobrir o valor da queda no faturamento:
Calma que ainda não acabamos!
Passo 3
Lembra que ele disse que o comerciante faturou a menos? Então, agora temos que subtrair o valor encontrado pelo faturamento no mês de dezembro teremos o faturamento total do mês de janeiro:
Resposta
reais.
Exercício Resolvido #5
(VUNESP 2017/CM de Sumaré).
Para ser aprovado, certo projeto de lei precisa que dos parlamentares, no mínimo votem sim. No dia da votação, parlamentares votaram sim. Nesse caso,
a) faltaram apenas votos para o projeto ser aprovado.
b) faltaram apenas votos para o projeto ser aprovado.
c) o projeto foi aprovado com votos a mais do que o mínimo necessário.
d) o projeto foi aprovado com votos a mais do que o mínimo necessário.
e) o projeto foi aprovado com exatamente de votos sim.
Passo 1
Para saber o mínimo de parlamentares necessários para aprovar o projeto precisamos saber quanto é de .
Temos que
O mínimo de votos necessários seriam .
Passo 2
Como já sabemos o mínimo de votos necessários para que o projeto seja aprovado e também sabemos a quantidade de votos favoráveis, podemos achar a diferença entre eles e encontrar a alternativa correta:
Faltaram votos para que o projeto fosse aprovado.
Resposta
Letra b).
Exercício Resolvido #6
Matika – Exercício Porcentagem – Adaptado.
Em dezembro, o lucro de uma empesa sofreu um aumento de em relação a novembro e houve uma queda de em janeiro, em relação a dezembro. Qual foi a porcentagem do lucro comparando os meses de janeiro e novembro?
Passo 1
Entre novembro e dezembro houve um acréscimo de , ou seja, o faturamento foi de .
Entre dezembro e janeiro houve uma queda de , ou seja, o faturamento foi de em relação ao mês de dezembro.
Passo 2
O principal objetivo dessa questão é termos a interpretação de que um faturamento de um mês depende diretamente do faturamento do mês anterior.
Dessa forma, queremos encontrar quanto vale (mês de janeiro) de (mês de dezembro), e para isso basta multiplicar um pelo outro:
Temos que:
Passo 3
Agora, para saber quanto foi o lucro comparando os meses de janeiro e novembro, basta pegar o lucro do mês de janeiro e subtrair o lucro do mês de novembro, que foi de .
Resposta
de lucro.
Exercício Resolvido #7
(FGV 2018/BANESTES).
Após fazer arremessos à cesta, Marcelinho constatou que acertou deles. Após fazer mais arremessos, ele melhorou seu percentual de acertos para do total de arremessos. Dos últimos arremessos, Marcelinho errou apenas:
a) 6.
b) 5.
c) 4.
d) 3.
e) 2.
Passo 1
Para começar, precisamos saber quanto vale de arremessos.
Temos que
Dessa forma, encontramos o resultado multiplicado pelo total de arremessos:
Para saber o número de erros, fazemos o total de arremessos menos o total de acertos
Das bolas arremessadas, Marcelinho acertou e errou apenas .
Passo 2
Após isso, ele lançou mais bolas e aumentou seu percentual de acertos para .
Temos que:
O número de arremessos agora é .
Como de é o próprio , podemos dizer que o número de acertos total deve ser igual a .
Passo 3
Fazendo o número total de acertos após os novos arremessos menos o número total de acertos, chegaremos ao número total de erros:
Como o número de erros anteriormente era de e o número de erros agora é de , podemos encontrar a quantidade de erros que Marcelinho cometeu nas últimas bolas:
Resposta
Letra b).
Exercício Resolvido #8
Enem 2015.
Segundo dados apurados no Censo 2010, para uma população de 101,8 milhões de brasileiros com 10 anos ou mais de idade e que teve algum tipo de rendimento em 2010, a renda média mensal apurada foi de R$1202,00. A soma dos rendimentos mensais dos 10% mais pobres correspondeu a apenas 1,1% do total de rendimentos desta população considerada, enquanto que a soma dos rendimentos mensais dos 10% mais ricos correspondeu a 44,5% desse total.
Qual foi a diferença, em reais, entre a renda média mensal de um brasileiro que estava na faixa dos 10% mais ricos e de um brasileiro que estava na faixa dos 10% mais pobres?
- 240,40
- 548,11
- 1 723,67
- 4 026,70
- 5 216,68
Passo 1
Então, pessoal, repara que o problema nos fornece a renda média de um grupo de 101,8 milhões de brasileiros. Para a gente descobrir o total faturado por esse grupo, basta multiplicar a média pelo total de pessoas.
A partir desse valor total de rendimentos, calcularemos o percentual dos mais pobres, bem como os mais ricos. Aí, depois acharemos a diferença.
Passo 2
Média dos mais pobres:
O problema diz que a soma dos rendimentos da população mais pobre equivale a do total. Então vamos calcular quanto é :
Mas o problema não quer saber o total de rendimentos dos mais pobres, e sim a média. Mas antes de fazermos esse cálculo, precisamos saber quantas pessoas fazem parte desse grupo, ou seja, precisamos calcular .
Agora sim, podemos achar a média:
E assim encontramos que o valor recebido pelos mais pobres é de reais.
Passo 3
Precisamos agora fazer a mesma análise para os mais ricos. Vamos utilizar o mesmo raciocínio.
O problema diz que a soma dos rendimentos da população mais rica equivale a do total. Então vamos calcular quanto é :
Agora vamos calcular a média, mas antes precisamos calcular .
Agora sim, podemos achar a média:
E assim encontramos que o valor recebido pelos mais ricas é de reais.
Passo 4
Para saber a diferença entre os dois, basta subtrair o valor recebidos pelos mais pobres do valor recebido pelos mais ricos
Resposta
Letra e).