Para resolver esse exercício, vamos ver em quais casos cada um se encaixa.

No denominador temos apenas uma raiz quadrada:

Então entramos no primeiro caso, onde o fator racionalizante é a própria raiz quadrada.

Assim, fator racionalizante:

Passo 2

Temos agora no denominador apenas uma raiz, mas seu índice é diferente de 2, assim estamos o segundo caso, e o fator integrante fica dessa forma:

O a é o radicando, nesse caso vale 3.

O n é o índice da raiz, nesse caso temos o índice 4.

E m é o expoente (ou número que está elevando) do radicando, nesse caso não está elevado a nenhum número explicito, ou seja, o valor do expoente é 1.

Assim, temos:

Ou,

Passo 3

Agora temos uma soma no denominador, e entramos no terceiro caso, onde é só trocarmos o sinal do meio.

Como temos uma subtração:

O fator racionalizante é uma soma:

1. Para fazer a racionalização, precisamos primeiro identificar qual o fator integrante que vamos usar.

Nesse caso, temos apenas uma raiz no denominador e ela vai ser o nosso fator racionalizante :

Descoberto o fator racionalizante, é só mmultiplicar o denominador e numerador da nossa fração por ele:

Para simplificar, podemos escrever:

Assim, ficamos com :

Passo 3

2. Novamente, temos apenas uma raiz quadrada no denominador:

Então, ela será nosso fator integrante:

Vamoss multiplicar nosso denominador e nnumerador pelo fator integrante que encontramos :

Vamos descobrir qual o nosso fator racionalizante, nesse caso temos uma raiz de índice diferente de 2 no denominador, assim temos que nosso fator integrante vai ser:

Onde,

a é o radicando que temos (a=7)

n é o índice da nossa raiz (n=3)

m é o número que está elevando nosso radicando (m=2)

Assim, o nosso fator racionalizante é:

Agora é só multiplicar o denominador e numerador da nossa fração pelo fator que descobrimos:

Passo 2

Novamente temos uma raiz com índice diferente de 2, por isso para descobrir o fator racionalizante vamos usar a mesma ideia.

Onde,

a é o radicando que temos (a=5)

n é o índice da nossa raiz (n=6)

m é o número que está elevando nosso radicando (m=4)

Assim, nosso fator racionalizante é:

Agora é só multiplicar o denominador e numerador da nossa fração pelo fator que encontramos:

Vamos descobrir qual o fator racionalizante da nossa fração, podemos ver que o denominador possui uma soma, e por isso entra no terceiro caso.

Têm-se isso:

Nosso fator racionalizante apenas troca o sinal do meio, como é uma soma, vira uma subtração:

Agora que descobrimos basta apenas multiplicar o denominador da nossa fração por esse fator.

No denominador, podemos usar um produto notável que diz:

Se você não lembrar, é só fazer à distributiva.

Vamos descobrir o fator racionalizante, da nossa fração. Temos uma subtração no denominador, e entramos no terceiro caso.

Como, temos:

Vamos inverter o sinal do meio, e vamos ter como fator racionalizante:

Agora é só, multiplicar o numerador e denominador pelo fator que encontramos:

Agora, no denominador e numerador vamos usar produtos notáveis:

Assim, temos:

Vamos racionalizar cada uma separadamente.

A primeira fração:

Possui apenas uma raiz quadrada no denominador, e ela será nosso fator integrante:

Agora, vamos multiplicar o numerador e denominador por esse fator:

Agora vamos racionalizar a segunda fração:

Temos uma raiz de índice diferente do dois no denominador, assim o racionalizante será:

“n” é o índice da raiz que temos no nosso denominador (n=3)

“a” é o radicando da raiz que temos (a=7)

“’m’’ é o valor que o radicando está sendo elevado (m=1)

Assim, nosso fator racionalizante será:

Agora vamos multiplicar nossa fração:

Agora vamos deixar em uma única fração:

Para resolver, primeiro vamos racionalizar cada uma das frações e depois fazemos a subtração.

Primeira fração:

Temos uma soma no denominador, o fator integrante será:

Agora é só multiplicar o numerador e denominador da nossa fração pelo fator que encontramos:

Fazendo as distributivas e usando produtos notáveis no denominador, temos:

Agora, vamos para a segunda fração:

O Fator racionalizante será o mesmo, então vamos multiplicar o numerador e denominador:

Novamente, fazendo as distributivas e usando produtos notáveis no denominador, temos:

Agora vamos fazer a subtração:

Para resolver, primeiro vamos relembrar que quando temos expoente negativo na potenciação, nós podemos inverter a fração:

Outra coisa vale lembrar que quando temos um expoente em forma de fração, nós também podemos escrever como uma raiz, onde o numerador vira o expoente do radicando e o denominador vira o índice da nossa raiz:

Agora, para racionalizar precisamos descobrir o fator racionalizante, e temos uma raiz de índice diferente de 2, assim:

“n” é o índice da raiz que temos no nosso denominador (n=4)

“a” é o radicando da raiz que temos (a=a)

“’m’’ é o valor que o radicando está sendo elevado (m=3)

Assim, nosso fator racionalizante é:

Vamos multiplicar o denominador e numerador da nossa fração pelo fator que encontramos: