Operações Com Raízes

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Teoria

Fala aí! Bora aprender sobre Operações com Raízes com o Responde Aí?

Como você resolveria o seguinte problema envolvendo raízes?

Operações com Raízes: Exemplo
Operações com Raízes: Exemplo

Fica tranquilo, não é nenhum bicho de sete cabeças! Hoje a gente vai aprender resolver esse problema e outros! 😉

Mas antes de qualquer coisa vamos dar nome aos bois! Um radical tem a seguinte “anatomia”:

Radicalização
Radicalização

E já que a radiciação é a operação inversa da potenciação, todo radical pode ser escrito na forma de potência, assim:

Radicalização e Potenciação
Radicalização e Potenciação

Quando a gente tem um problema de radicalização envolvendo soma e subtração devemos ficar atento nos radicais semelhantes! Já para multiplicar ou dividir os radicais a gente observa os índices envolvidos!

Vamos entender melhor? Se liga nesse vídeo explicando tudo o que você precisa saber sobre operações com raízes!

Ou continua comigo no textinho! Vamos conhecer cada caso 😉

Soma e Subtração

Tanto para soma quanto para subtração de raízes, não temos nenhuma regra especial, você resolve as raízes e faz a conta! Mas para resolver as raízes, uma dica muito legal é fazer a fatoração dos radicandos!

Vamos pegar aquele exemplo do início:

Vamos olhar raiz por raiz individualmente!

  • Primeira Raiz:

Fazemos sua fatoração:

fatoração 125
fatoração 125

Então podemos dizer que:

A primeira já foi!

  • Segunda Raiz:

    Essa é a mais tranquilinha!

  • Terceira Raiz:

    Fazemos sua fatoração:

Fatoração: 81
Fatoração: 81

Então temos:

Agora é só somar tudo!

Awee! Sem mistério, viu?

Multiplicação

Para fazer a multiplicação de raízes é necessário que as raízes tenham o mesmo índice. Se não tiver, você resolve as raízes separadamente e faz a multiplicação!

Quando temos o mesmo índice, por exemplo:

Podemos juntar todos como uma raiz e multiplicamos dentro dela

Divisão

Na dividão também é importante que os índices sejam iguais! Vamos dar uma olhada em um exemplo:

Como temos o mesmo índice, juntamos e fazemos uma única raiz:

Prontinho!

Agora, vamos praticar com exercícios?!

Soma e Subtração

Multiplicação

Divisão

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Efetue a soma:

4 2 + 0 7 + 1 8

Passo 1

Não existe nenhuma regra para soma ou subtração de raízes, por isso vamos resolver cada uma delas individualmente:

  • Primeira
  • 4 2

    Vamos pensar em que número elevou ao quadrado (índice) para obter o valor do radicando 4.

    Sabemos que se elevarmos 2 ao quadrado chegou exatamente em 4, ou seja:

    4 2 = 2

    Passo 2

  • Segunda
  • 0 7

    Uma das propriedades diz que independente do índice, a raiz de 0, sempre vai ser 0: 0 7 = 0 .

    Passo 3

  • Terceira

1 8

Outra propriedade diz que se o radicando for 1, independente dado valor d índice o resultado sempre vai ser 1:

1 8 = 1

Passo 2

Agora que descobrimos o valor de cada uma individualmente, agora é só fazer a soma:

4 2 + 0 7 + 1 8 = 2 + 0 + 1 = 3

Resposta

3

Exercício Resolvido #2

Transforme em um único radical:

  1. 2 × 5 × √ 7
  2. 5 12 × 10 12

Passo 1

  1. Se tivermos duas ou mais raízes se multiplicando de mesmo índice, podemos fazer uma raizona só, com o mesmo índice.
  2. Na letra a, ambas são raízes quadradas, ou seja, podemos usar a regrinha:

    Agora é só fazer a multiplicação: 2 × 5 × 7 = √ 70

    Pronto, essa é a nossa única raiz.·.

    Passo 2

  3. Vamos seguir a mesma ideia, agora temos o índice 12 nas duas raízes, assim podemos fazer uma raizona:

Agora é só multiplicar:

5 × 10 12 = 50 12

Resposta

  1. 70
  2. 50 12

Exercício Resolvido #3

Transforme em um único radical, escrevendo o radicando na sua forma mais simples possível:

  1. 20 24
  2. 16 5 20 5

Passo 1

  1. Para escrevermos numa só raiz a divisão, precisamos de índices iguais.
  2. Nesse caso ambas são raízes quadradas e possuem índice 2. Assim, podemos transformar em uma única raizona com esse mesmo índice:

    Essa divisão não é exata, PORÉEEM precisamos simplificar. Podemos dividir em cima e em baixo por 4, e teremos:

    20 24 = 20 ÷ 4 24 ÷ 4 = 5 6

    Prontinho, não temos mais simplificações e deixamos em uma raiz só.

    Passo 2

  3. Temos agora o mesmo índice 5, então novamente conseguimos fazer uma raizona:

Agora é só fazer a simplificação, vamos simplificar por 4:

16 20 5 = 16 ÷ 4 20 ÷ 4 5 = 4 5 5

Prontinho, chegamos na nossa resposta.

Resposta

  1. 5 6
  2. 4 5 5

Exercício Resolvido #4

Resolva a multiplicação;

6 2 × 2 2 × 3 2

Passo 1

Nesse exercício chegamos ao caso em que os índices são iguais, para resolver vamos multiplicar os radicandos e fazer uma raiz só, ou seja:

6 2 × 2 2 × 3 2 = 6 × 2 × 3 2 = 6 × 6 2 = 6 2 2

Passo 2

Como, temos o expoente do radicando igual ao índice da raiz, podemos “cancelar” eles, lembrando que 2 é par logo o resultado sai em módulo:

6 2 2 = 6 = 6

Assim, o resultado da nossa multiplicação é 6.

Resposta

6

Exercício Resolvido #5

Resolva :

2 2 × 3 √ 8

Passo 1

Dá uma olhada nessas raizes, ambas estão sendo multiplicadas por um número e têm índice 2 ( ou seja, estão elevado ao quadrado).

A idéia aqui é você sempre multiplicar raiz com raiz e número com número:

Agora podemos resolver separadammennte essas multiplicações e no final ssó mmultiplicamos os resultados.

Passo 2

Resolvendo a multiplicação entre os números :

2 × 3 = 6

Agora, vamos resolver a multiplicação entre as raizes :

√ 2 × √ 8

Ambas raizes tem o mesmo índice 2, por isso podemos usar nossa regrinha. Vamos juntar as duas raizes numa só comm o mesmo índice, e dentro dela tem os radicandos se multiplicando :

2 × 8 = 2 × 8 = √ 16

Para resolver essa raiz, vamos pensar em que número foi elevado ao qquadrado ( índice ) para obtermos 16 ?

Sabemos que é o 4. Por que 4 2 = 4 × 4 = 16 .

Assim, temos que :

2 × 8 = 16 = 4

Passo 3

Agora, vamos multiplicar oss nossos resultados

2 2 × 3 8 = 2 × 3 2 × 8 = 6 × 4 = 24

Resposta

24

Exercício Resolvido #6

Faça a divisão:

2500 4 4 4

Passo 1

Essas raízes possuem índices iguais, assim podemos usar nossa regrinha.

Podemos fazer uma raiz só com o mesmo índice e dividir os radicandos, ou seja:

Agora é só fazer essa divisão, depois resolvemos a raiz.

Passo 2

2500 4 4 = 625 4

Agora para resolver, vamos pensar em que número foi elevado á quarta potência para termos 625.

Vamos testar o número 5:

5 4   = 5 × 5 × 5 × 5 = 625

Assim, temos:

2500 4 4 4 = 625 4 = 5

Resposta

5

Exercício Resolvido #7

Resolva:

5 1080 3 3 5 3

Passo 1

Para resolvermos esse exercício, vamos fazer a mesma coisa que fizemos para a multiplicação, número inteiro com número inteiro e raiz com raiz

Podemos imaginar como duas frações:

Vamos deixar os inteiros de lado por um momento e vamos resolver as raízes, elas têm o mesmo índice 3, assim aprendemos que podemos fazer um raizona só, com o mesmo índice e dividir os radicando:

Agora para resolver essa raiz, temos que pensar em qual número que foi elevado ao cubo, para obter 216. Vamos testar o seis:

6 3 = 6 × 6 × 6 = 216

Pronto, sabemos que:

216 3 = 6

Passo 2

Agora só vamos resolver a multiplicação:

5 3 × 216 3 = 5 3 × 6 = 10

Resposta

10

Exercício Resolvido #8

A metade da raíz quadrada de um número x é igual a 5. Então o valor de x é :

  1. 10
  2. 25
  3. 50
  4. 100

Passo 1

Vamos montar o enunciado, temos que a metade da raiz quadrada de um número é 5. Metade é dividir por 2, e basta igualarmos a 5 :

x 2 = 5

Podemos multiplicar os dois lados dessa equação por 2, ssimplismente passar o 2 que esttá dividindo para o outro lado da equação multiplicado :

x 2 × 2 = 5 × 2

Que resulta :

x = 10

Passo 2

Agora vamos lembrar que a raiz é o inverso da potenciação, ou seja, se queremos saber que raiz quadrada dá 10, podemos simplesmente elevar o 10 ao quadrado :

x = 10 ⇒ x = 10 2

Sabemos que 10 2 = 10 × 10 = 100

Logo achamos o número que procurávamos.

Resposta

Letra D