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Polinômio de Taylor para f(x,y,z)

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Teoria

Polinômio de Taylor para mais de uma variável

Já sabemos que o Polinômio de Taylor é um polinômio que aproxima uma função qualquer perto de um ponto. Ou seja, ele é uma aproximação de uma função que pode ser muito difícil, por um simples polinômio.

Mas a gente sabe que polinômio pode ter vários graus: pode ser de grau 1 ( x ) , grau 2 ( x 2 ) , grau 3 ( x ³ )... até o grau n . Assim, é de se esperar que quanto maior o grau do polinômio de Taylor, melhor ele estará aproximando a função real, isto é, mais próximo da função ele será.

E, pra saber até que grau você tem que calcular…. A questão vai te dizer! (ufa!)

Ok, vamos para o que interessa agora: como a gente faz afinal pra calcular o Polinômio de Taylor para uma função de 3 variáveis?

Para uma variável tínhamos que o polinômio de Taylor em torno de um ponto x 0 era:

P x = f x 0 + f ' x 0 1 ! x - x 0 + f ' ' x 0 2 ! x - x 0 2 + … + f n x 0 n ! x - x 0 n

Para função de duas variáveis, o que mudava era que a função não tinha só uma derivada, mas sim duas derivadas parciais e duas derivadas parciais mistas. Dai essa expressão crescia um pouquinho.

Agora, para funções de três variáveis, ainda teremos derivadas parciais, mas agora serão três derivadas parciais e seis derivadas parciais mistas, de modo que a expressão do Polinômio de Taylor em torno do ponto ( x 0 , y 0 , z 0 ) vai crescer ainda mais um pouquinho...

Vem comigo nesse exemplo:

Determine o polinômio de Taylor de grau 2 da função f x , y , z = e x + y + z em torno de p → = 0,0 , 0 .

Como ele quer um polinômio de grau 2 , a primeira coisa que precisamos fazer é achar as derivadas até a ordem 2 de f x , y , z .

Como temos uma função de três variáveis, temos que achar:

∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z ,   ∂ 2 f ∂ x 2 ,   ∂ 2 f ∂ y 2 , ∂ ² f ∂ z ² ,   ∂ ² f ∂ x ∂ y , ∂ ² f ∂ x ∂ z ,   ∂ ² f ∂ y ∂ z , ∂ ² f ∂ y ∂ x ,   ∂ ² f ∂ z ∂ x ,   ∂ ² f ∂ z ∂ y

Repare que não basta ir somente até f x x , f y y e f z z , temos que considerar todas as permutações e, consequentemente f x y , f x z , f y x , f y z , f z x e f z y .

Atenção! As derivadas parciais mistas serão iguais, mas é bom calcularmos todas para a gente não esquecer de colocar nenhuma delas na expressão do polinômio de Taylor.

Dito isso, vamos ter:

∂ f ∂ x = e x + y + z

  ∂ f ∂ y = e x + y + z

∂ f ∂ z = e x + y + z

  ∂ 2 f ∂ y 2 = e x + y + z

  ∂ 2 f ∂ x 2 = e x + y + z

∂ ² f ∂ z ² = e x + y + z

  ∂ 2 f ∂ x ∂ y = e x + y + z

∂ 2 f ∂ y ∂ x = e x + y + z

∂ 2 f ∂ x ∂ z = e x + y + z

∂ 2 f ∂ z ∂ x = e x + y + z

∂ 2 f ∂ y ∂ z = e x + y + z

∂ 2 f ∂ z ∂ y = e x + y + z

Malandramente, escolhi a função exponencial pra ficar tudo igual :p.

Depois temos que achar a função f x , y , z e as derivadas que calculamos no ponto que ele quer o polinômio, no caso p → = 0,0 , 0 :

f 0,0 , 0 = e 0 + 0 + 0 = e 0 = 1

∂ f ∂ x 0,0 , 0 = e 0 + 0 = e 0 = 1

  ∂ f ∂ y 0,0 , 0 = e 0 + 0 + 0 = e 0 = 1

∂ f ∂ z 0,0 , 0 = e 0 + 0 + 0 = e 0 = 1

  ∂ 2 f ∂ y 2 0,0 , 0 = e 0 + 0 + 0 = e 0 = 1

  ∂ 2 f ∂ x 2 0,0 , 0 = e 0 + 0 + 0 = e 0 = 1

∂ 2 f ∂ z 2 0,0 , 0 = e 0 + 0 + 0 = e 0 = 1

  ∂ 2 f ∂ x ∂ y 0,0 , 0 = e 0 + 0 + 0 = e 0 = 1

∂ 2 f ∂ y ∂ x 0,0 , 0 = e 0 + 0 + 0 = e 0 = 1

∂ 2 f ∂ x ∂ z 0,0 , 0 = e 0 + 0 + 0 = e 0 = 1

∂ 2 f ∂ z ∂ x 0,0 , 0 = e 0 + 0 + 0 = e 0 = 1

∂ 2 f ∂ y ∂ z 0,0 , 0 = e 0 + 0 + 0 = e 0 = 1

∂ 2 f ∂ z ∂ y 0,0 , 0 = e 0 + 0 + 0 = e 0 = 1

Beleza, agora já temos todos os termos do polinômio. Vamos organizar quem é quem.

O primeiro termo é o da própria função. Os outros termos vão ser parecidos com aquele para funções de uma variável, com uma leve diferença.

Se tivermos a derivada em relação a x o termo vai ser:

∂ n f ∂ x n x 0 , y 0 , z 0 x - x 0 n n !

Se tivermos a derivada em relação a y o termo vai ser:

∂ n f ∂ y n x 0 , y 0 , z 0 y - y 0 n n !

Se tivermos a derivada em relação a z o termo vai ser:

∂ n f ∂ z n x 0 , y 0 , z 0 z - z 0 n n !

Se tivermos a derivada em relação a y e em relação a x o termo vai ser:

∂ n f ∂ y m ∂ x p x 0 , y 0 , z 0 y - y 0 m x - x 0 p n !

Se tivermos a derivada em relação a y e em relação a z o termo vai ser:

∂ n f ∂ y m ∂ z p x 0 , y 0 , z 0 y - y 0 m z - z 0 p n !

Se tivermos a derivada em relação a x e em relação a z o termo vai ser:

∂ n f ∂ x m ∂ z p x 0 , y 0 , z 0 x - x 0 m z - z 0 p n !

Onde m + p = n .

Lembrando que nas derivadas parciais mistas, vamos sempre ter dois termos para cada par de variáveis: para x e y teremos f x y e f y x , para x e z teremos f x z e f z x e para y e z teremos f y z e f z y .

Ah, e lembrando também que em todos esses termos, x 0 é o valor de x em torno do qual estamos pegando o polinômio, y 0 é o valor de y em torno do qual estamos pegando o polinômio, e z 0 é o valor de z em torno do qual estamos pegando o polinômio.

No nosso exemplo então, os termos vão ser:

f 0,0 , 0 = 1

∂ f ∂ x 0,0 , 0 x - 0 1 ! = 1 . x = x

  ∂ f ∂ y 0,0 , 0 y - 0 1 ! = 1 . y = y

∂ f ∂ z 0,0 , 0 z - 0 1 ! = 1 . z = z

∂ 2 f ∂ y 2 0,0 , 0 y - 0 2 2 ! = 1 . y 2 2 = y 2 2

  ∂ 2 f ∂ x 2 0,0 , 0 x - 0 2 2 ! = 1 . x 2 2 = x 2 2

∂ 2 f ∂ z 2 0,0 , 0 z - 0 2 2 ! = 1 . z 2 2 = z 2 2

∂ 2 f ∂ x ∂ y 0,0 , 0 x - 0 y - 0 2 ! = 1 . x y 2 = x y 2

∂ 2 f ∂ y ∂ x 0,0 , 0 y - 0 x - 0 2 ! = 1 . y x 2 = x y 2

∂ 2 f ∂ y ∂ z 0,0 , 0 y - 0 z - 0 2 ! = 1 . y z 2 = y z 2

∂ 2 f ∂ z ∂ y 0,0 , 0 z - 0 y - 0 2 ! = 1 . z y 2 = y z 2

∂ 2 f ∂ x ∂ z 0,0 , 0 x - 0 z - 0 2 ! = 1 . x z 2 = x z 2

∂ 2 f ∂ z ∂ x 0,0 , 0 z - 0 x - 0 2 ! = 1 . z x 2 = x z 2

Juntando tudo vai ficar:

P 2 x , y , z = 1 + x + y + z + y 2 2 + x 2 2 + z 2 2 + x y 2 + x y 2 + y z 2 + y z 2 + x z 2 + x z 2

P 2 x , y , z = 1 + x + y + z + y 2 2 + x 2 2 + z 2 2 + x y + y z + x z

Entendeu? Esse polinômio nos dá os valores da função para valores de x , y , z perto de 0,0 , 0 . Vamos fazer um resumo geral de como achar esse polinômio.

Se quisermos o polinômio de Taylor da função f x , y , z de grau n em torno do ponto x , y , z = x 0 , y 0 , z 0 .

Passo 1 : Achar as derivadas até a derivada n .

Passo 2 : Achar os valores da função e das derivadas até a derivada n no ponto x , y , z = x 0 , y 0 , z 0 .

Passo 3 : Achar cada termo do polinômio, lembrando que o primeiro termo é o valor da própria função no ponto, f ( x 0 , y 0 , z 0 ) . E os termos seguintes são:

Se tivermos a derivada em relação a x o termo vai ser:

∂ n f ∂ x n x 0 , y 0 , z 0 x - x 0 n n !

Se tivermos a derivada em relação a y o termo vai ser:

∂ n f ∂ y n x 0 , y 0 , z 0 y - y 0 n n !

Se tivermos a derivada em relação a z o termo vai ser:

∂ n f ∂ z n x 0 , y 0 , z 0 z - z 0 n n !

Se tivermos a derivada em relação a y e em relação a x o termo vai ser:

∂ n f ∂ y m ∂ x p x 0 , y 0 , z 0 y - y 0 m x - x 0 p n !

Se tivermos a derivada em relação a y e em relação a z o termo vai ser:

∂ n f ∂ y m ∂ z p x 0 , y 0 , z 0 y - y 0 m z - z 0 p n !

Se tivermos a derivada em relação a x e em relação a z o termo vai ser:

∂ n f ∂ x m ∂ z p x 0 , y 0 , z 0 x - x 0 m z - z 0 p n !

Passo 4 : Somar todos os termos.

Pronto, agora é só mandar ver nos exercícios.

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Determine o polinômio de Taylor de ordem 1 da função dada em torno do ponto x 0 , y 0 , z 0 dado.

f x , y , z = x 3 + y 3 + z ³           e           x 0 , y 0 , z 0 = 1,1 , 1

Passo 1

Para acharmos o polinômio de Taylor a primeira coisa é achar as derivadas de ordem 1 da minha função

∂ f ∂ x = 3 x 2

∂ f ∂ y = 3 y 2

∂ f ∂ z = 3 z 2

Agora temos que achar essas derivadas no ponto

∂ f ∂ x 1,1 , 1 = 3 1 2 = 3

∂ f ∂ y 1,1 , 1 = 3 1 2 = 3

∂ f ∂ z 1,1 , 1 = 3 1 2 = 3

Passo 2

Agora vamos achar os termos do polinômio, lembrando que

Se tivermos a derivada em relação a x o termo vai ser:

∂ n f ∂ x n x 0 , y 0 , z 0 x - x 0 n n !

Se tivermos a derivada em relação a y o termo vai ser:

∂ n f ∂ y n x 0 , y 0 , z 0 y - y 0 n n !

Se tivermos a derivada em relação a z o termo vai ser:

∂ n f ∂ z n x 0 , y 0 , z 0 z - z 0 n n !

Então os termos vão ser

f 1,1 , 1 = 1 3 + 1 3 + 1 3 = 3

∂ f ∂ x 1,1 , 1 x - 1 1 1 ! = 3 x - 1 1 = 3 x - 3

∂ f ∂ y 1,1 , 1 y - 1 1 1 ! = 3 y - 1 1 = 3 y - 3

∂ f ∂ z 1,1 , 1 z - 1 1 1 ! = 3 z - 1 1 = 3 z - 3

Passo 3

O polinômio vai ser

P 1 x , y , z = 3 + 3 x - 3 + 3 y - 3 + 3 z - 3 = 3 x + 3 y + 3 z - 6

Resposta

P 1 x , y , z = 3 x + 3 y + 3 z - 6

Exercício Resolvido #2

UFF, Cálculo IIB, Lista GMA, Lista 5, exercício 4b, modificado.

Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 da função dada em torno do ponto x 0 , y 0 , z 0 dado.

f x , y , z = x 1 4 y 1 2 z 1 4           e           x 0 , y 0 , z 0 = 1,1 , 1

Passo 1

Para acharmos o polinômio de Taylor pedido, a primeira coisa é achar as derivadas de ordem 2 da minha função.

∂ f ∂ x = y 1 2 z 1 4 4 x 3 4

∂ f ∂ y = x 1 4 z 1 4 2 y 1 2

∂ f ∂ z = x 1 4 y 1 2 4 z 3 4

∂ 2 f ∂ x 2 = - 3 4 . y 1 2 z 1 4 4 x 7 4 = - 3 y 1 2 z 1 4 16 x 7 4

∂ 2 f ∂ y 2 = - 1 2 . x 1 4 z 1 4 2 y 3 2 = x 1 4 z 1 4 4 y 3 2

∂ 2 f ∂ z 2 = = - 3 4 . y 1 2 x 1 4 4 z 7 4 = - 3 y 1 2 x 1 4 16 z 7 4

∂ 2 f ∂ x ∂ y = 1 4 x 3 4 . z 1 4 2 y 1 2 = z 1 4 8 x 3 4 y 1 2

∂ 2 f ∂ y ∂ x = 1 2 y 1 2 . z 1 4 4 x 3 4 = z 1 4 8 x 3 4 y 1 2

∂ 2 f ∂ x ∂ z = 1 4 x 3 4 . y 1 2 4 z 3 4 = y 1 2 16 x 3 4 z 3 4

∂ 2 f ∂ z ∂ x = y 1 2 16 x 3 4 z 3 4

∂ 2 f ∂ y ∂ z = 1 2 y 1 2 . x 1 4 4 z 3 4 = x 1 4 8 y 1 2 z 3 4

∂ 2 f ∂ z ∂ y = x 1 4 8 y 1 2 z 3 4

Passo 2

Agora temos que achar essas derivadas no ponto

∂ f ∂ x 1,1 , 1 = ( 1 ) 1 2 ( 1 ) 1 4 4 ( 1 ) 3 4 = 1 4

∂ f ∂ y 1,1 , 1 = ( 1 ) 1 4 ( 1 ) 1 4 2 ( 1 ) 1 2 = 1 2

∂ f ∂ z 1,1 , 1 = ( 1 ) 1 4 ( 1 ) 1 2 4 ( 1 ) 3 4 = 1 4

∂ 2 f ∂ x 2 1,1 , 1 = - 3 ( 1 ) 1 2 ( 1 ) 1 4 16 ( 1 ) 7 4 = - 3 16

∂ 2 f ∂ y 2 1,1 , 1 = - 1 1 4 1 1 4 4 1 3 2 = - 1 4

∂ 2 f ∂ z 2 1,1 , 1 = - 3 ( 1 ) 1 2 ( 1 ) 1 4 16 ( 1 ) 7 4 = - 3 16

∂ 2 f ∂ x ∂ y 1,1 , 1 = ( 1 ) 1 4 8 ( 1 ) 3 4 ( 1 ) 1 2 = 1 8

∂ 2 f ∂ y ∂ x 1,1 , 1 = ( 1 ) 1 4 8 ( 1 ) 3 4 ( 1 ) 1 2 = 1 8

∂ 2 f ∂ x ∂ z 1,1 , 1 = ( 1 ) 1 2 16 ( 1 ) 3 4 ( 1 ) 3 4 = 1 16

∂ 2 f ∂ z ∂ x 1,1 , 1 = ( 1 ) 1 2 16 ( 1 ) 3 4 ( 1 ) 3 4 = 1 16

∂ 2 f ∂ y ∂ z 1,1 , 1 = ( 1 ) 1 4 8 ( 1 ) 1 2 ( 1 ) 3 4 = 1 8

∂ 2 f ∂ z ∂ y 1,1 , 1 = ( 1 ) 1 4 8 ( 1 ) 1 2 ( 1 ) 3 4 = 1 8

Passo 3

Agora vamos achar os termos do polinômio, lembrando que

Se tivermos a derivada em relação a x o termo vai ser:

∂ n f ∂ x n x 0 , y 0 , z 0 x - x 0 n n !

Se tivermos a derivada em relação a y o termo vai ser:

∂ n f ∂ y n x 0 , y 0 , z 0 y - y 0 n n !

Se tivermos a derivada em relação a z o termo vai ser:

∂ n f ∂ z n x 0 , y 0 , z 0 z - z 0 n n !

Se tivermos a derivada em relação a y e em relação a x o termo vai ser:

∂ n f ∂ y m ∂ x p x 0 , y 0 , z 0 y - y 0 m x - x 0 p n !

Se tivermos a derivada em relação a y e em relação a z o termo vai ser:

∂ n f ∂ y m ∂ z p x 0 , y 0 , z 0 y - y 0 m z - z 0 p n !

Se tivermos a derivada em relação a x e em relação a z o termo vai ser:

∂ n f ∂ x m ∂ z p x 0 , y 0 , z 0 x - x 0 m z - z 0 p n !

Então os termos vão ser

f 1,1 , 1 = 1 1 4 1 1 2 1 1 4 = 1

∂ f ∂ x 1,1 , 1 x - 1 1 1 ! = 1 4 x - 1 1 = x 4 - 1 4

∂ f ∂ y 1,1 , 1 y - 1 1 1 ! = 1 2 y - 1 1 = y 2 - 1 2

∂ f ∂ z 1,1 , 1 z - 1 1 1 ! = 1 4 z - 1 1 = z 4 - 1 4

∂ 2 f ∂ y 2 1,1 , 1 y - 1 2 2 ! = - 1 4 . y 2 - 2 y + 1 2 = - y 2 - 2 y + 1 8

  ∂ 2 f ∂ x 2 1,1 , 1 x - 1 2 2 ! = - 3 16 . x 2 - 2 x + 1 2 = - 3 x 2 + 6 x - 3 32

∂ 2 f ∂ z 2 1,1 , 1 z - 1 2 2 ! = - 3 16 . z 2 - 2 z + 1 2 = - 3 z 2 + 6 z - 3 32

∂ 2 f ∂ x ∂ y 1,1 , 1 x - 1 y - 1 2 ! = 1 8 . x y - x - y + 1 2 = x y - x - y + 1 16

∂ 2 f ∂ y ∂ x 1,1 , 1 y - 1 x - 1 2 ! = 1 8 . y x - x - y + 1 2 = x y - x - y + 1 16

∂ 2 f ∂ y ∂ z 1,1 , 1 y - 1 z - 1 2 ! = 1 8 . y z - y - z + 1 2 = y z - y - z + 1 16

∂ 2 f ∂ z ∂ y 1,1 , 1 z - 1 y - 1 2 ! = 1 8 . z y - y - z + 1 2 = y z - y - z + 1 16

∂ 2 f ∂ x ∂ z 1,1 , 1 x - 1 z - 1 2 ! = 1 16 . x z - x - z + 1 2 = x z - x - z + 1 32

∂ 2 f ∂ z ∂ x 1,1 , 1 z - 1 x - 1 2 ! = 1 16 . z x - x - z + 1 2 = x z - x - z + 1 32

Passo 4

O polinômio vai ser

P 1 x , y , z = 1 + x 4 - 1 4 + y 2 - 1 2 + z 4 - 1 4 - y 2 8 + y 4 - 1 8 - 3 x 2 32 + 3 x 16 - 3 32 - 3 z 2 32 + 3 z 16 - 3 32 + x y 16 - x 16 - y 16 + 1 16 + x y 16 - x 16 - y 16 + 1 16 + y z 16 - y 16 - z 16 + 1 16 + y z 16 - y 16 - z 16 + 1 16 + x z 32 - x 16 - z 16 + 1 16 + x z 32 - x 16 - z 16 + 1 16

P 1 x , y , z = 1 - 1 4 - 1 2 - 1 4 - 1 8 - 3 32 - 3 32 + 1 16 + 1 16 + 1 16 + 1 16 + 1 16 + 1 16 + x 4 + 3 x 16 - x 16 - x 16 - x 16 - x 16 + y 2 + y 4 - y 16 - y 16 - y 16 - y 16 + z 4 + 3 z 16 - z 16 - z 16 - z 16 - z 16 + x y 16 + x y 16 + y z 16 + y z 16 + x z 32 + x z 32 - y 2 8 - 3 x 2 32 - 3 z 2 32

P 1 x , y , z = 1 16 + 3 x 16 + y 2 + 3 z 16 - y 2 8 - 3 x 2 32 - 3 z 2 32 + x y 8 + y z 8 + x z 16

Resposta

P 1 x , y , z = 1 16 + 3 x 16 + y 2 + 3 z 16 - y 2 8 - 3 x 2 32 - 3 z 2 32 + x y 8 + y z 8 + x z 16