Teoria

Polinômio de Taylor para mais de uma variável

Às vezes as funções que temos são muito complicadas de calcular quanto ao valor exato, mas muitas vezes uma aproximação é mais que o suficiente. Agora, como fazer essa aproximação? Para isso que existe o polinômio de Taylor, que nada mais é que essa aproximação por um polinômio em torno de um ponto.

Até o momento, vimos aproximação de Taylor para funções de uma única variável, como:

f x = sen ⁡ x

Agora veremos como aproximar por polinômio de Taylor funções de duas variáveis como essa aí:

f x , y = sen ⁡ x + y

Fica atento em outra coisa, o polinômio de Taylor pode ser calculado para diversos graus. Ué, mas como vou saber para qual grau calcular? Depende do grau que a questão pede ou qual o erro máximo permitido.

Como calcular – Uma variável

Vimos que, se a função for derivável até a ordem desejada, que vamos chamar de n , então a aproximação por polinômio de Taylor em torno de um ponto x 0 será:

P x = f x 0 + f ' x 0 1 ! x - x 0 + f ' ' x 0 2 ! x - x 0 2 + … + f n x 0 n ! x - x 0 n

Esse x 0 será um ponto de referência que será dado na questão ou você escolherá de maneira que seu valor para a função e suas derivadas seja fácil de determinar. Se você tem alguma dúvida nessa parte, vale muito a pena olhar os tipos de polinômio de Taylor de uma variável.

Como calcular – Duas variáveis

Para calcular o polinômio de Taylor para uma função de duas variáveis, ao redor de um ponto, usamos um passo-a-passo de boa.

Vamos usar um exemplo para entendermos melhor.

Exemplo:

Determine o polinômio de Taylor de grau 2 da função f x , y = e x + y em torno de p → = 0,0 .

Como ele quer um polinômio de grau 2 , a primeira coisa que precisamos fazer é achar as derivadas até a ordem 2 de f x , y .

Como temos uma função de duas variáveis, temos que achar:

∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y ,   ∂ 2 f ∂ y 2 ,   ∂ 2 f ∂ x 2 ,   ∂ 2 f ∂ x ∂ y , ∂ 2 f ∂ y ∂ x

Repare que não basta ir somente até f x x e f y y , temos que considerar todas as permutações e, consequentemente f x y e f y x . Sabendo isso, vamos ter:

∂ f ∂ x = e x + y

  ∂ f ∂ y = e x + y

  ∂ 2 f ∂ y 2 = e x + y

  ∂ 2 f ∂ x 2 = e x + y

  ∂ 2 f ∂ x ∂ y = e x + y

∂ 2 f ∂ y ∂ x = e x + y

É tudo igual, porque é exponencial :p.

Depois temos que achar a função f x , y e as derivadas que calculamos no ponto que ele quer o polinômio, no caso p → = 0,0 :

f 0,0 = e 0 + 0 = e 0 = 1

∂ f ∂ x 0,0 = e 0 + 0 = e 0 = 1

  ∂ f ∂ y 0,0 = e 0 + 0 = e 0 = 1

  ∂ 2 f ∂ y 2 0,0 = e 0 + 0 = e 0 = 1

  ∂ 2 f ∂ x 2 0,0 = e 0 + 0 = e 0 = 1

  ∂ 2 f ∂ x ∂ y 0,0 = e 0 + 0 = e 0 = 1

∂ 2 f ∂ y ∂ x 0,0 = e 0 + 0 = e 0 = 1

Agora achamos cada termo do polinômio, o primeiro termo é o da própria função. Os outros termos vão ser parecidos com aquele para funções de uma variável, com uma leve diferença. Se tivermos a derivada em relação a x o termo vai ser:

∂ n f ∂ x n x 0 , y 0 x - x 0 n n !

Se tivermos a derivada em relação a y o termo vai ser:

∂ n f ∂ y n x 0 , y 0 y - y 0 n n !

Se tivermos a derivada em relação a y e em relação a x o termo vai ser:

∂ n f ∂ y m ∂ x p x 0 , y 0 y - y 0 m x - x 0 p n !

Onde m + p = n .

Lembrando que em todos esses termos, x 0 é o valor de x em torno do qual estamos pegando o polinômio, e y 0 é o valor de y em torno do qual estamos pegando o polinômio.

No nosso exemplo, os termos vão ser:

f 0,0 = 1

∂ f ∂ x 0,0 x - 0 1 ! = 1 . x = x

  ∂ f ∂ y 0,0 y - 0 1 ! = 1 . y = y

∂ 2 f ∂ y 2 0,0 y - 0 2 2 ! = 1 . y 2 2 = y 2 2

  ∂ 2 f ∂ x 2 0,0 x - 0 2 2 ! = 1 . x 2 2 = x 2 2

∂ 2 f ∂ x ∂ y 0,0 x - 0 y - 0 2 ! = 1 . x y 2 = x y 2

∂ 2 f ∂ y ∂ x 0,0 y - 0 x - 0 2 ! = 1 . y x 2 = x y 2

Juntando tudo vai ficar:

P 2 x , y = 1 + x + y + y 2 2 + x 2 2 + x y 2 + x y 2 = 1 + x + y + y 2 2 + x 2 2 + x y

Entendeu? Esse polinômio nos dá os valores da função para valores de x , y perto de 0,0 . Vamos fazer um resumo geral de como achar esse polinômio.

Se quisermos o polinômio de Taylor da função f x , y de grau n em torno do ponto x , y = x 0 , y 0 .

Passo 1 : Achar as derivadas até a derivada n .

Passo 2 : Achar os valores da função e das derivadas até a derivada n no ponto x , y = x 0 , y 0 .

Passo 3 : Achar cada termo do polinômio.

Se tivermos a derivada em relação a x , o termo vai ser:

∂ n f ∂ x n x 0 , y 0 x - x 0 n n !

Se tivermos a derivada em relação a y , o termo vai ser:

∂ n f ∂ y n x 0 , y 0 y - y 0 n n !

Se tivermos a derivada em relação a y e em relação a x o termo vai ser:

∂ n f ∂ y m ∂ x p x 0 , y 0 y - y 0 m x - x 0 p n !

Passo 4 : Somar todos os termos.

Pronto, partiu exercícios.

Como calcular – Duas variáveis

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Determine o polinômio de Taylor de ordem 1 da função dada em torno do ponto x 0 , y 0 dado.

f x , y = x 3 + y 3 + x 2 + 4 y           e           x 0 , y 0 = 1,1

Passo 1

Para acharmos o polinômio de Taylor a primeira coisa é achar as derivadas de ordem 1 da minha função

∂ f ∂ x = 3 x 2 + 2 x

∂ f ∂ y = 3 y 2 + 4

Agora temos que achar essas derivadas no ponto

∂ f ∂ x 1,1 = 3 1 2 + 2 1 = 5

∂ f ∂ y 1,1 = 3 1 2 + 4 = 7

Passo 2

Agora vamos achar os termos do polinômio, lembrando que

Se tivermos a derivada em relação a x o termo vai ser

∂ n f ∂ x n x 0 , y 0 x - x 0 n n !

Se tivermos a derivada em relação a y o termo vai ser

∂ n f ∂ y n x 0 , y 0 y - y 0 n n !

Se tivermos a derivada em relação a y e em relação a x o termo vai ser

∂ n f ∂ y m ∂ x p x 0 , y 0 y - y 0 m x - x 0 p n !

Então os termos vão ser

f 1,1 = 1 3 + 1 3 + 1 2 + 4.1 = 7

∂ f ∂ x 1,1 x - 1 1 1 ! = 5 x - 1 1 = 5 x - 5

∂ f ∂ y 1,1 y - 1 1 1 ! = 7 y - 1 1 = 7 y - 7

Passo 3

O polinômio vai ser

P 1 x , y = 7 + 5 x - 5 + 7 y - 7 = 5 x + 7 y - 5

Resposta

P 1 x , y = 5 x + 7 y - 5

Exercício Resolvido #2

Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 da função dada, em volta do ponto x 0 , y 0 dado.

f x , y = x sen ⁡ y   e   x 0 , y 0 = 0,0

Passo 1

A primeira coisa a fazer é achar as derivadas de ordem 2 dessa função f x , y

∂ f ∂ x = sen ⁡ y

∂ f ∂ y = x cos ⁡ y

∂ 2 f ∂ x 2 = 0

∂ 2 f ∂ y 2 = - x sen ⁡ y

∂ 2 f ∂ x ∂ y = cos ⁡ y

∂ 2 f ∂ y ∂ x = cos ⁡ y

É normal essas últimas duas darem iguais, mas precisamos calcular os dois para não esquecer no final.

Passo 2

Temos agora que achar essas derivadas e a função no ponto que ele deu

f 0,0 = 0 . sen ⁡ 0 = 0

∂ f ∂ x 0,0 = sen ⁡ 0 = 0

∂ f ∂ y 0,0 = 0 cos ⁡ 0 = 0

∂ 2 f ∂ x 2 0,0 = 0

∂ 2 f ∂ y 2 0,0 = - 0 sen ⁡ 0 = 0

∂ 2 f ∂ x ∂ y 0,0 = cos ⁡ 0 = 1

∂ 2 f ∂ y ∂ x 0,0 = cos ⁡ 0 = 1

Passo 3

Agora achamos cada termo do polinômio, lembrando que

Se tivermos a derivada em relação a x o termo vai ser

∂ n f ∂ x n x 0 , y 0 x - x 0 n n !

Se tivermos a derivada em relação a y o termo vai ser

∂ n f ∂ y n x 0 , y 0 y - y 0 n n !

Se tivermos a derivada em relação a y e em relação a x o termo vai ser

∂ n f ∂ y m ∂ x p x 0 , y 0 y - y 0 m x - x 0 p n !

OS termos vão ser

f 0,0 = 0 . sen ⁡ 0 = 0

∂ f ∂ x 0,0 x - 0 1 1 ! = 0

∂ f ∂ y 0,0 y - 0 1 1 ! = 0

∂ 2 f ∂ x 2 0,0 x - 0 2 2 ! = 0

∂ 2 f ∂ y 2 0,0 y - 0 2 2 ! = 0

∂ 2 f ∂ x ∂ y 0,0 x - 0 1 y - 0 1 2 ! = x y 2

∂ 2 f ∂ y ∂ x 0,0 x - 0 1 y - 0 1 2 ! = x y 2

Passo 4

O polinômio vai ser

P 2 x , y = x y 2 + x y 2 = x y

Resposta

P 2 x , y = x y

Exercício Resolvido #3

Use o polinômio de Taylor de ordem 2 em p → = 1,1 para aproximar f x , y = x 1 / 2 y 1 / 2 em q → = 1.2,0.9

Passo 1

A primeira coisa a fazer é achar as derivadas de ordem 2 dessa função f x , y

∂ f ∂ x = 1 2 x - 1 / 2 y 1 / 2

∂ f ∂ y = 1 2 x 1 / 2 y - 1 / 2

∂ 2 f ∂ x 2 = - 1 4 x - 3 / 2 y 1 / 2

∂ 2 f ∂ y 2 = - 1 4 x 1 / 2 y - 3 / 2

∂ 2 f ∂ x ∂ y = 1 4 x - 1 / 2 y - 1 / 2

∂ 2 f ∂ y ∂ x = 1 4 x - 1 / 2 y - 1 / 2

É normal essas últimas duas darem iguais, mas precisamos calcular os dois para não esquecer no final.

Passo 2

Temos agora que achar essas derivadas e a função no ponto que ele deu

f 1,1 = 1 1 / 2 1 1 / 2 = 1

∂ f ∂ x 1,1 = 1 2 1 - 1 / 2 1 1 / 2 = 1 2

∂ f ∂ y 1,1 = 1 2 1 1 / 2 1 - 1 / 2 = 1 2

∂ 2 f ∂ x 2 1,1 = - 1 4 1 - 3 / 2 1 1 / 2 = - 1 4

∂ 2 f ∂ y 2 1,1 = - 1 4 1 1 / 2 1 - 3 / 2 = - 1 4

∂ 2 f ∂ x ∂ y 1,1 = 1 4 1 - 1 / 2 1 - 1 / 2 = 1 4

∂ 2 f ∂ y ∂ x 1,1 = 1 4 1 - 1 / 2 1 - 1 / 2 = 1 4

Passo 3

Agora achamos cada termo do polinômio, lembrando que

Se tivermos a derivada em relação a x o termo vai ser

∂ n f ∂ x n x 0 , y 0 x - x 0 n n !

Se tivermos a derivada em relação a y o termo vai ser

∂ n f ∂ y n x 0 , y 0 y - y 0 n n !

Se tivermos a derivada em relação a y e em relação a x o termo vai ser

∂ n f ∂ y m ∂ x p x 0 , y 0 y - y 0 m x - x 0 p n !

OS termos vão ser

f 1,1 = 1 = 0

∂ f ∂ x 1,1 x - 1 1 1 ! = 1 2 x - 1 1 = x 2 - 1 2

∂ f ∂ y 1,1 y - 1 1 1 ! = 1 2 y - 1 1 = y 2 - 1 2

∂ 2 f ∂ x 2 1,1 x - 1 2 2 ! = - 1 4 x - 1 2 2 = - 1 8 x 2 - 2 x + 1 = - x 2 8 + x 4 - 1 8

∂ 2 f ∂ y 2 1,1 y - 1 2 2 ! = - 1 4 y - 1 2 2 = - 1 8 y 2 - 2 y + 1 = - y 2 8 + y 4 - 1 8

∂ 2 f ∂ x ∂ y 1,1 x - 1 1 y - 1 1 2 ! = 1 4 x - 1 y - 1 2 = 1 8 x y - x - y + 1 = x y 8 - x 8 - y 8 + 1 8

∂ 2 f ∂ y ∂ x 1,1 x - 1 1 y - 1 1 2 ! = 1 4 x - 1 y - 1 2 = 1 8 x y - x - y + 1 = x y 8 - x 8 - y 8 + 1 8

Passo 4

O polinômio vai ser

P 2 x , y = 1 + x 2 - 1 2 + y 2 - 1 2 + - x 2 8 + x 4 - 1 8 + - y 2 8 + y 4 - 1 8 + x y 8 - x 8 - y 8 + 1 8 + x y 8 - x 8 - y 8 + 1 8

P 2 x , y = x 2 + y 2 - x 2 8 - y 2 8 + x y 4

Passo 5

Vamos agora achar o valor do polinômio no ponto 1.2,0.9

P 2 1.2,0.9 = 1,2 2 + 0,9 2 - 1,2 2 8 - 0,9 2 8 + 1,2   .     0,9 4 = 1,03875

Resposta

P 2 x , y = x 2 + y 2 - x 2 8 - y 2 8 + x y 4

P 2 1.2,0.9 = 1,03875

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