Polinômio de Taylor para f(x,y)
Teoria
Polinômio de Taylor para mais de uma variável
Às vezes as funções que temos são muito complicadas de calcular quanto ao valor exato, mas muitas vezes uma aproximação é mais que o suficiente. Agora, como fazer essa aproximação? Para isso que existe o polinômio de Taylor, que nada mais é que essa aproximação por um polinômio em torno de um ponto.
Até o momento, vimos aproximação de Taylor para funções de uma única variável, como:
Agora veremos como aproximar por polinômio de Taylor funções de duas variáveis como essa aí:
Fica atento em outra coisa, o polinômio de Taylor pode ser calculado para diversos graus. Ué, mas como vou saber para qual grau calcular? Depende do grau que a questão pede ou qual o erro máximo permitido.
Como calcular – Uma variável
Vimos que, se a função for derivável até a ordem desejada, que vamos chamar de , então a aproximação por polinômio de Taylor em torno de um ponto será:
Esse será um ponto de referência que será dado na questão ou você escolherá de maneira que seu valor para a função e suas derivadas seja fácil de determinar. Se você tem alguma dúvida nessa parte, vale muito a pena olhar os tipos de polinômio de Taylor de uma variável.
Como calcular – Duas variáveis
Para calcular o polinômio de Taylor para uma função de duas variáveis, ao redor de um ponto, usamos um passo-a-passo de boa.
Vamos usar um exemplo para entendermos melhor.
Exemplo:
Determine o polinômio de Taylor de grau 2 da função em torno de .
Como ele quer um polinômio de grau , a primeira coisa que precisamos fazer é achar as derivadas até a ordem de .
Como temos uma função de duas variáveis, temos que achar:
Repare que não basta ir somente até e , temos que considerar todas as permutações e, consequentemente e . Sabendo isso, vamos ter:
É tudo igual, porque é exponencial :p.
Depois temos que achar a função e as derivadas que calculamos no ponto que ele quer o polinômio, no caso :
Agora achamos cada termo do polinômio, o primeiro termo é o da própria função. Os outros termos vão ser parecidos com aquele para funções de uma variável, com uma leve diferença. Se tivermos a derivada em relação a o termo vai ser:
Se tivermos a derivada em relação a o termo vai ser:
Se tivermos a derivada em relação a e em relação a o termo vai ser:
Onde .
Lembrando que em todos esses termos, é o valor de em torno do qual estamos pegando o polinômio, e é o valor de em torno do qual estamos pegando o polinômio.
No nosso exemplo, os termos vão ser:
Juntando tudo vai ficar:
Entendeu? Esse polinômio nos dá os valores da função para valores de perto de . Vamos fazer um resumo geral de como achar esse polinômio.
Se quisermos o polinômio de Taylor da função de grau em torno do ponto .
Passo : Achar as derivadas até a derivada .
Passo : Achar os valores da função e das derivadas até a derivada no ponto .
Passo : Achar cada termo do polinômio.
Se tivermos a derivada em relação a , o termo vai ser:
Se tivermos a derivada em relação a , o termo vai ser:
Se tivermos a derivada em relação a e em relação a o termo vai ser:
Passo : Somar todos os termos.
Pronto, partiu exercícios.
Como calcular – Duas variáveis
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Hamilton Luiz Guidorizzi, Um curso de Cálculo Volume 2, 5ª ed., Rio de Janeiro: LTC 2008, pp. 302 ex 1b.
Determine o polinômio de Taylor de ordem da função dada em torno do ponto dado.
Passo 1
Para acharmos o polinômio de Taylor a primeira coisa é achar as derivadas de ordem da minha função
Agora temos que achar essas derivadas no ponto
Passo 2
Agora vamos achar os termos do polinômio, lembrando que
Se tivermos a derivada em relação a o termo vai ser
Se tivermos a derivada em relação a o termo vai ser
Se tivermos a derivada em relação a e em relação a o termo vai ser
Então os termos vão ser
Passo 3
O polinômio vai ser
Resposta
Exercício Resolvido #2
Hamilton Luiz Guidorizzi, Um curso de Cálculo Volume 2, 5ª ed., Rio de Janeiro: LTC 2008, pp. 305 ex
Determine o polinômio de Taylor de ordem da função dada, em volta do ponto dado.
Passo 1
A primeira coisa a fazer é achar as derivadas de ordem dessa função
É normal essas últimas duas darem iguais, mas precisamos calcular os dois para não esquecer no final.
Passo 2
Temos agora que achar essas derivadas e a função no ponto que ele deu
Passo 3
Agora achamos cada termo do polinômio, lembrando que
Se tivermos a derivada em relação a o termo vai ser
Se tivermos a derivada em relação a o termo vai ser
Se tivermos a derivada em relação a e em relação a o termo vai ser
OS termos vão ser
Passo 4
O polinômio vai ser
Resposta
Exercício Resolvido #3
UFF - Cálculo IIB – GMA – 2008.2 - Lista 5 – 5
Use o polinômio de Taylor de ordem em para aproximar em
Passo 1
A primeira coisa a fazer é achar as derivadas de ordem dessa função
É normal essas últimas duas darem iguais, mas precisamos calcular os dois para não esquecer no final.
Passo 2
Temos agora que achar essas derivadas e a função no ponto que ele deu
Passo 3
Agora achamos cada termo do polinômio, lembrando que
Se tivermos a derivada em relação a o termo vai ser
Se tivermos a derivada em relação a o termo vai ser
Se tivermos a derivada em relação a e em relação a o termo vai ser
OS termos vão ser
Passo 4
O polinômio vai ser
Passo 5
Vamos agora achar o valor do polinômio no ponto