Aproximação de Integral com Polinômio de Taylor
Produzido por Mariana PessanhaTeoria
Polinômio de Taylor e a integral
Taylor é um cara tão legal, mas tão legal, que nos ajuda a calcular até mesmo integrais usando polinômios. Ele é o cara. Beleza, mas como a gente faz isso?
Antes de sair por aí generalizando, vamos pensar em um problema, como a integral de:
Pow, essa integral é bem complicada, mas podemos chegar ao valor dela através de uma aproximação.
Se a gente chama o limite superior dessa integral de , então teremos uma função de :
Sendo:
E a gente sabe que, se a função for derivável até a ordem que queremos aproximar, podemos aproximar a função por um polinômio de Taylor.
Para começar de maneira amiga, vamos calcular o polinômio de Taylor de para ordem e centrado em zero que é um ponto próximo de que é o limite superior real da nossa integral. Ele vai ficar:
Para calcular isso aí, precisamos conhecer:
é fácil: será a integral de zero a zero:
Já que a integral de um ponto até o mesmo ponto é sempre zero.
O problema vem agora. Precisamos calcular e para isso, que será:
E agora? É só lembrar do teorema fundamental do Cálculo que diz basicamente que:
Sendo a primitiva da função , ou seja, a função cuja derivada é igual à.
Ok, então vamos aplicar o TFC no nosso problema:
Como, por definição, a derivada de será então:
é uma constante e se perde nas peripécias da vida quando derivada, então:
Então:
Logo:
Só falta agora:
No ponto zero:
Agora é só substituir:
Para aproximar a integral agora, só substituir pelo o que ele significa: o intervalo superior da integral:
Vale lembrar que esse resultado é uma aproximação e se quisermos uma aproximação melhor, devemos aumentar a ordem do polinômio. O erro da aproximação estará sempre associado às ordens superiores, sendo:
a ordem da aproximação e:
Neste caso, já que zero é o ponto central do polinômio e é o ponto escolhido para aproximar:
Para a ordem que aproximamos:
Para a ordem :
Repare, jovem, que é crescente, então o maior valor possível para o erro é o maior valor possível de que será . Substituindo esse valor na expressão acima:
Assim:
O erro é sempre estimado e baseado no maior valor possível para dentro dos valores possíveis de . Isso faz sentido, pois, se pudéssemos calcular o valor exato do erro, era só adicioná-lo ao valor real e teríamos o resultado exato. Assim não tem graça.
Ficou com alguma dúvida com relação à estrutura do polinômio de Taylor? Volte lá na primeira parte do tópico que a gente explica tudo com muito amor.
O erro não ficou muito claro também? Temos um tipo só para ele também, dá uma olhada!
Caso geral
E para uma aproximação da integral por um polinômio de Taylor geral, como fica? A verdade é que nada mudará em relação ao que a gente já conhece.
Se é derivável até ordem e:
Então a aproximação por polinômio de Taylor de centrado em será:
Aproximando o integrando
Às vezes, é mais jogo aproximar o integrando por Taylor e substituí-lo na integral. Vamos ver como isso é feito?
Imagine essa integral:
Se a gente usar o TFC nela e aproximá-la por Taylor, as derivadas vão ficar todas muito grandes e chatas de calcular. Então a gente pode considerar:
E, para resolver o problema com a derivada:
Coisa que não daria para fazer na integral, já que precisaríamos mudar para .
Certo. Então, aproximamos tudo com o . Como a integral tem intervalo entre e , podemos escolher para facilitar. Vamos usar a ordem para ter uma noção legal:
Precisamos achar os valores:
Substituindo:
Agora voltamos para para não ter que mexer na integral:
Certo, agora é substituir na integral:
Isso aí a gente resolve da mesma maneira de sempre para polinômios:
É isso! E o erro? Integra também! Para a 3ª ordem:
Voltando para para não mexer na integral:
Sendo:
Já que e a distância máxima que chegamos com foi até , no limite superior da integral.
Como queremos garantir que erro seja menor que alguma coisa, devemos escolher o maior valor possível. Como a exponencial é crescente para , escolhemos o limite superior de ,
O erro na integral será a integral disso:
O erro ficou bem pequeno. Legal.