Aproximação de Integral com Polinômio de Taylor

Já que a integral de um ponto até o mesmo ponto é sempre zero.

O problema vem agora. Precisamos calcular e para isso, que será:

E agora? É só lembrar do teorema fundamental do Cálculo que diz basicamente que:

Sendo a primitiva da função , ou seja, a função cuja derivada é igual à.

Ok, então vamos aplicar o TFC no nosso problema:

Como, por definição, a derivada de será então:

é uma constante e se perde nas peripécias da vida quando derivada, então:

Então:

Logo:

Só falta agora:

No ponto zero:

Agora é só substituir:

Para aproximar a integral agora, só substituir pelo o que ele significa: o intervalo superior da integral:

Vale lembrar que esse resultado é uma aproximação e se quisermos uma aproximação melhor, devemos aumentar a ordem do polinômio. O erro da aproximação estará sempre associado às ordens superiores, sendo:

a ordem da aproximação e:

Neste caso, já que zero é o ponto central do polinômio e é o ponto escolhido para aproximar:

Para a ordem que aproximamos:

Para a ordem :

Repare, jovem, que é crescente, então o maior valor possível para o erro é o maior valor possível de que será . Substituindo esse valor na expressão acima:

Assim:

O erro é sempre estimado e baseado no maior valor possível para dentro dos valores possíveis de . Isso faz sentido, pois, se pudéssemos calcular o valor exato do erro, era só adicioná-lo ao valor real e teríamos o resultado exato. Assim não tem graça.

Ficou com alguma dúvida com relação à estrutura do polinômio de Taylor? Volte lá na primeira parte do tópico que a gente explica tudo com muito amor.

O erro não ficou muito claro também? Temos um tipo só para ele também, dá uma olhada!

Caso geral

E para uma aproximação da integral por um polinômio de Taylor geral, como fica? A verdade é que nada mudará em relação ao que a gente já conhece.

Se é derivável até ordem e:

Então a aproximação por polinômio de Taylor de centrado em será:

Aproximando o integrando

Às vezes, é mais jogo aproximar o integrando por Taylor e substituí-lo na integral. Vamos ver como isso é feito?

Imagine essa integral:

Se a gente usar o TFC nela e aproximá-la por Taylor, as derivadas vão ficar todas muito grandes e chatas de calcular. Então a gente pode considerar:

E, para resolver o problema com a derivada:

Coisa que não daria para fazer na integral, já que precisaríamos mudar para .

Certo. Então, aproximamos tudo com o . Como a integral tem intervalo entre e , podemos escolher para facilitar. Vamos usar a ordem para ter uma noção legal:

Precisamos achar os valores:

Substituindo:

Agora voltamos para para não ter que mexer na integral:

Certo, agora é substituir na integral:

Isso aí a gente resolve da mesma maneira de sempre para polinômios:

É isso! E o erro? Integra também! Para a 3ª ordem:

Voltando para para não mexer na integral:

Sendo:

Já que e a distância máxima que chegamos com foi até , no limite superior da integral.

Como queremos garantir que erro seja menor que alguma coisa, devemos escolher o maior valor possível. Como a exponencial é crescente para , escolhemos o limite superior de ,

O erro na integral será a integral disso:

O erro ficou bem pequeno. Legal.