Demonstrações Matemáticas
Teoria
Fala aêe! Seja muito bem vindo ao RespondeAí! Hoje vamos aprender por
Então se liga nesse vídeo que a gente preparou especialmente pra você! 👇
Ou, se você preferir, fica comigo, porque a gente também tem explicação em texto! Bora aprender como podemos fazer uma prova matemática!
Métodos de Demonstração Matemática
Antes de colocar a mão na massa, temos que ter em mente algumas regrinhas pra conseguirmos fazer a prova matemática.
- Um número inteiro não nulo
divide um número inteiro se existe um inteiro , tal que: ; - Um número inteiro
é dito par se divide , ou seja, se existe número inteiro tal que ; - Um número inteiro
é dito ímpar se não divide , nesse caso pode-se provar que existe um número inteiro tal que ; - Um número real
é dito racional se existirem números inteiros e , com , tal que ; - Um número real é dito irracional se não existirem inteiros
e , com , tal que .
Agora sim, vamos ver os diferentes métodos de demonstração matemática!
Demonstração Direta
Nesse caso a demonstração matemática é estabelecida através da combinação lógica dos axiomas, definições e teoremas já existentes.
Exemplo:
Mostre que se
Podemos organizar nossas informações da seguinte forma:
- Hipótese 1:
é ímpar - Hipótese 2:
é ímpar - Tese:
é par
Baseado nas hipóteses 1 e 2, podemos escrever:
Onde
Para provar a tese, somamos as duas equações acima:
Manipulando:
Podemos dizer que
Considerando a definição de número par que falamos lá em cima, chegamos a conclusão que
Demonstração por Contradição
Essa demonstração matemática é muito famosa, também conhecida por demonstração por Redução ao absurdo. Já vou começar com um exemplo:
Demonstre que
Nesse método o que a gente faz é justamente tentar provar o contrário disso e chegar numa contradição. Vamos lá!
Dizemos que
Com
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Logo:
Se
Chegamos então à conclusão de que
Demonstração por Contraposição
O que a gente faz aqui é demonstrar algo equivalente ao que se pede!
Isto é, se pedirem pra você demonstrar algo do tipo
Vamos a um exemplo:
Mostre que se
Vamos demonstrar usando o método da contraposição. Nosso caso atual é:
A contraposição será:
Podemos escrever então:
- Hipótese:
é par - Tese:
é par
Então, a partir da hipótese, vamos tentar chegar na tese. Sabendo que
Onde
Se chamarmos
Isto é,
Demonstração de “se e somente se”
Esse é nada mais nada menos que o método direto, só que com duas proposições compostas! Se liga, você vai se deparar com uma demonstração do tipo:
E vamos dar a prova matemática que:
Exemplo:
Dois inteiros
Para provar isso, temos que provar:
- Se
e possuem paridades diferentes, então é ímpar - Se
é ímpar, então e tem paridades diferentes.
Vamos começar da implicação 1:
- Hipótese:
e tem paridades diferentes. - Tese:
é ímpar
Baseado na hipótese, podemos dizer que
Vamos somar os dois e verificar se a soma é ímpar ou não.
Fazendo
Portanto, a implicação 1 é verdadeira.
Para provar a implicação 2, vamos usar o método de contraposição. Isto é, ao invés de provarmos “Se
Se
Caso
Logo, é verdade!
Caso
Fazendo
Logo, é verdade.
E portanto, as implicações
Perceba que nesse método de “se, e somente se”, a gente o desmembra em duas implicações. Para provarmos essas implicações, podemos usar os outros métodos que coloquei aqui, assim como acabei de fazer, usando o método da contraposição.
Bom, é isso! Agora vamos partir pros exercícios e arrebentar!!
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Demonstre as seguintes afirmações:
Se divide e divide , então divide .
Se e são números pares, então é par.
Passo 1
FALAAAAA AÍ! Bom, sem muita conversa, vamos demonstrar essas afirmações, começando do começo:
Vou escolher o método da demonstração direta para fazer estes, ok?
Hipótese : divide
Hipótese : divide
Tese: divide
Vamos lá, olhando a hipótese , temos que se divide , então podemos escrever o seguinte:
Onde é um número inteiro.
Olhando a hipótese , temos que se divide , então podemos escrever o seguinte:
Onde é um número inteiro.
Legal, agora vamos focar no que queremos provar: divide . Então poderíamos escrever que queremos chegar no seguinte:
Onde é um número inteiro.
Passo 2
Show, dadas as relações que temos das hipóteses e :
Somando essas duas equações:
Colocando o em evidência:
Chamando :
Onde é um número inteiro. Como queríamos demonstrar.
Passo 3
A próxima diz o seguinte:
Bora resolver essa questão linda. Dá uma olhada no que temos:
Hipótese : é par
Hipótese : é par
Tese: é par
Baseado na hipótese , temos que se é par, podemos escrever que:
Onde é um número inteiro.
Baseado na hipótese , temos que se é par, podemos escrever que:
Onde é um número inteiro.
Agora, vamos focar no que queremos chegar, na tese. Ao dizermos que é par, podemos escrever:
Onde é um número inteiro. É nisso que queremos chegar, foca!!!
Passo 4
Dadas as relações que chegamos através das hipóteses e :
Somando as duas equações:
Colocando em evidência:
E tomando :
Onde é um número inteiro. Como queríamos demonstrar.
Resposta
Método de demonstração direta.
Exercício Resolvido #2
Demonstre as seguintes proposições usando o método da redução ao absurdo:
Não existem soluções inteiras e positivas para .
Dados e números inteiros, mostre que se não divide , então não divide .
Passo 1
Olááá, meu anjo! Está indo tudo bem?
Bom, vamos começar do início:
Como vamos demonstrar por redução ao absurdo, a primeira coisa que temos que fazer é dizer que EXISTEM soluções inteiras e positivas para e depois chegarmos à conclusão de que isso é um absurdo.
Vamos reescrever essa equação assim:
Agora vamos pensar em números que multiplicados dão :
Vamos testar cada caso!
Passo 2
Se:
Então:
O que contraria nossa hipótese, já que essas são soluções não inteiras.
Se:
Então:
O que contraria nossa hipótese, já que essas são soluções não inteiras e negativas.
Se:
Então:
O que contraria nossa hipótese, já que essas são soluções não inteiras.
Se:
Então:
O que contraria nossa hipótese, já que essas são soluções não inteiras e negativas.
Ou seja, todos os nossos testes foram reduzidos ao absurdo. Logo, não existem soluções inteiras e positivas para , como queríamos demonstrar.
Passo 3
Dá uma olhada na próxima:
Bom, temos uma proposição composta do tipo:
Negando isso:
Então vamos trabalhar com a seguinte proposição:
Da frase “ divide ”, podemos escrever:
Onde é número inteiro.
Se multiplicarmos por em ambos os lados:
E vou escrever :
MAAAAAAAAAAAS, da frase “ não divide ”, temos que NÃO CONSEGUIMOS ESCREVER:
Com número inteiro.
Portanto, isso é um absurdo.
Resposta
Demonstração por redução ao absurdo.
Exercício Resolvido #3
Prove cada uma das seguintes proposições pelo método de contraposição:
Se e são dois números inteiros cujo produto é par, então pelo menos um dos dois deve ser par.
Se e são números reais tais que o produto é um número irracional, então ou ou deve ser um número irracional.
Passo 1
Oiiiii aluno mais engajado do mundo! Bora demonstrar essas afirmações pelo método de contraposição. Você lembra como é?
É assim, você se depara com uma proposição da forma:
E o que provaremos é algo que é equivalente a ela, ou seja:
Bora ver o primeiro item:
A contrapositiva dessa proposição é:
Lembrando que a negação de “pelo menos um dos dois deve ser par” é “nenhum dos dois é par”, ou seja, “os dois são ímpares”.
Então vamos lá, a nossa hipótese é que e são inteiros ímpares, isto é, podemos escrevê-los da forma:
Onde e números são inteiros.
Passo 2
Queremos mostrar que o produto é ímpar, então vamos multiplicar essas duas equações ok?
Realizando as operações:
Chamando :
Onde é um número inteiro.
Portanto, o produto é um número ímpar, como queríamos demonstrar.
Passo 3
Se liga nessa próxima:
Como fica a contrapositiva dessa proposição? Dá uma olhada:
Bom, da hipótese podemos escrever que:
Onde e são números inteiros, tais que e
Queremos que o produto seja racional, então vamos multiplicar essas duas equações:
Como são números inteiros, chamaremos e , onde ambos são inteiros:
Portanto, o produto é racional, como queríamos demonstrar.
Resposta
Demonstração pelo método de contraposição.
Exercício Resolvido #4
Demonstre que dados dois inteiros e , o produto é um número par, se e somente se, pelo menos um dos números inteiros, ou , for par.
Passo 1
Olááá pessoa dedicada! Hahahaha tudo bem?
Bom, aqui precisamos demonstrar essa afirmação! Mas qual método utilizaremos?
Cara, normalmente eu diria pra você seguir o seu coração, entretanto, tem um “se e somente se” ali, então vamos usar esse método, ok?
Nesse tipo de demonstração, precisamos provar a ida e a volta. Provaremos então:
Vamos começar do ínicio, provando . Da hipótese podemos escrever:
Podemos escrever , onde e são inteiros:
Ou seja, podemos ter que ou ou . Além disso, podemos ter que , isto é, ele pode ser par! Então teríamos:
E isso poderia ser . Não é uma regra, é apenas uma possibilidade.
Portanto, um deles deveria ser par.
Passo 2
Agora vamos provar o . Da hipótese podemos escrever que:
Bom, agora vamos ver cada caso.
Caso é par e não:
Chamando :
Ou seja, é par.
Caso é par e não:
Chamando :
Ou seja, é par.
Caso é par e é par:
Chamando :
Ou seja, é par.
Portanto, as duas proposições são verdadeiras, como queríamos demonstrar.
Resposta
Demonstração pelo método de se e somente se.
Exercício Resolvido #5
Mostre que um número inteiro de dígitos é divisível por se a soma dos seus dígitos for divisível por .
Passo 1
Meu amooooor, esse tipo de questão é muito interessante e pode cair na sua prova, por exemplo, falando sobre a regrinha dos números divisíveis por , sei lá. Então, pega a visão!
Para começar, um número inteiro de dígitos pode ser representado da seguinte forma:
Concorda comigo? Eu não sei quais são os dígitos, então coloco uma letra ao lado da outra.
Bom, para ser divisível por , é necessário que eu consiga escrever esse número da seguinte forma:
Onde é um número inteiro. LEMBRE-SE: NÃO é uma multiplicação dessas letras, mas sim um nome!
Passo 2
Vamos lá, finalmente colocar a mão na massa. Concorda comigo que podemos escrever:
É assim que escreveremos nosso número:
Agora olha o truque!!!
Cara, a gente já tem uma parcela de que é divisível por . Porém, aquela parte:
A gente não sabe se é. Se ela for, significa que:
E chamando :
E finalmente:
PORÉM, se NÃO puder ser escrito como , ou seja, se a soma dos algarismos não for divisível por , então o número não é divisível por .
Logo, a ÚNICA forma de ser divisível por é se a soma dos algarismos também for, como queríamos demonstrar.
Resposta
Demonstração pelo método direto.