Exercícios de Demonstrações - Lista de Exercícios Resolvida

Demonstre que dados dois inteiros e , o produto é um número par, se e somente se, pelo menos um dos números inteiros, ou , for par.

Demonstre as seguintes afirmações:

Se divide e divide , então divide .

Se e são números pares, então é par.

Mostre que um número inteiro de dígitos é divisível por se a soma dos seus dígitos for divisível por .

Prove cada uma das seguintes proposições pelo método de contraposição:

Se e são dois números inteiros cujo produto é par, então pelo menos um dos dois deve ser par.

Se e são números reais tais que o produto é um número irracional, então ou ou deve ser um número irracional.

Demonstre as seguintes proposições usando o método da redução ao absurdo:

Não existem soluções inteiras e positivas para .

Dados e números inteiros, mostre que se não divide , então não divide .

Numa epidemia de gripe, o número de pessoas num bairro que pegaram gripe após dias é dado por:

Em quantos dias pessoas ficaram com gripe?

Se as funções

e

são denominadas cosseno hiperbólico e seno hiperbólico, respectivamente. Demostre as seguintes identidades trigonométricas hiperbólicas:

em que tagh e cosh são, respectivamente, as funções tangente e cossecante hiperbólicas.

Considere a seguinte proposição:

1. Decida se a proposição é verdadeira ou falsa
2. Enuncie a recíproca e decida se a mesma é verdadeira ou falsa;

(b) Mostre que a conclusão não segue se omitimos a hipótese .