Fundamentos de Lógica e Linguagem Matemática
Teoria
Implicação
Cara, para tudooooooo! Esse conectivo, representado por , é o mais importante! Acho que você já tá cansado de ver:
Em que lemos “ implica ”.
É aquele que expressa uma relação de implicação, mas não de causa-efeito, ela apenas estabelece uma relação entre os valores lógicos da implicação e os valores lógicos de e .
Nessa relação, é chamada hipótese ou premissa e é a tese ou conclusão.
Olha um exemplo bem doido:
Se adotarmos:
Nossa proposição é:
Essa implicação é verdadeira, pois é verdadeira e também. Mas perceba que não tem nada a ver uma coisa com a outra. Apenas julgamos a setinha, baseado na hipótese e na tese.
Olha esse que doideira:
Cara, pasme se quiser, isso é verdadeiro!!! Sabe por que?
A hipótese é falsa e a tese também é, então a implicação é verdadeira. Saca só a tabela verdade:
A única forma da implicação ser falsa é se a hipótese for verdadeira e a tese for falsa.
E como fica a negação disso?
Recíproca, contrapositiva, inversa e relação de equivalência
Vamos conhecer as primas da implicação. Dada uma implicação do tipo:
E já te adianto o seguinte: a implicação é equivalente à contrapositiva. Como eu sei disso? Você sempre pode dizer que duas proposições compostas são equivalentes se elas possuem a mesma tabela verdade. Olha a tabelinha:
Percebe que os valores verdades das duas últimas colunas são iguais, então são equivalentes.
Olha tabela das três proposições que vimos agora:
Perceba que a recíproca e a inversa são equivalentes, pois suas tabelas verdade são iguais (olhe a última coluna)!
Finalmente, o conectivo
É chamado de bicondicional ou biimplicação. A gente lê isso como “p se e somente se q”.
Para dizer que isso é verdade ou não, basta que seja verdade.
Exemplo:
Vamos ver se a implicação é verdadeira:
Isso não é verdade, pois é irracional e é racional. Nem precisamos fazer a recíproca, já temos aqui que a biimplicação é falsa.
Dizemos que é condição suficiente para se é verdadeira e dizemos que é condição necessária para se é verdadeira. No caso de biimplicação, ou seja, a implicação e a recíproca são verdadeiras, dizemos que é uma condição necessária e suficiente para .
Deixo aqui a tabelinha da negação pra você de todos os conectivos e quantificadores que vimos até agora:
Múltiplos Quantificadores
Bom, já vimos os quantificadores e , mas ainda não os vimos juntos! Simmmm, chegou a hora de juntar esse dois e ver a bagunça que fica hahaha
Já vou te avisando, porque sou sua amiga, que A ORDEM IMPORTA. Então toda vez que você se depara com algo assim:
Já repara em quem tá aparecendo primeiro! Vamos traduzir isso aí pro português: “Para todo número real , existe um número real tal que ”.
Cara, isso é verdade. Qualquer número que você pegue , se você elevá-lo ao quadrado, também será um número real, que chamaremos de .
Agora vamos inverter essa brincadeira:
Agora traduzindo para o português: “Existe um número real tal que para todo número real , ”. Isso não é verdade, cara. Tipo, escolhe um número real , pode ser o ou qualquer outro da sua preferência. Me diga, é verdade que PARA TODO E QUALQUER real, ???
Não é verdade, você pode pegar o . E isso deu errado não foi porque escolhemos o , mas porque não vai funcionar com nenhum número.
Agora vamos aprender a negar essas estruturas. Lembre-se: onde é “tal que” vira vírgula e onde é vírgula vira “tal que”.
Troquei o por e vice-versa! Legal né? Partiu exercícios!!!
Recíproca, contrapositiva, inversa e relação de equivalência
Múltiplos Quantificadores
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Ache a contrapositiva, a recíproca e a inversa das seguintes frases:
Passo 1
Olááá meu anjo!!! Bora fazer esse exercício! Você vai ver que vai ser rapidinho.
Vamos dar uma relembrada do que seria uma contrapositiva, uma recíproca e uma inversa de uma implicação do tipo :
Agora sim, comecemos do começo:
Para acharmos a contrapositiva, a gente troca a hipótese (termo antes da seta) com a tese (termo depois da seta) e nega as duas:
Aquele “não” depois da implicação anula o outro dentro dos parênteses, ficando com:
Passo 2
Para encontrarmos a recíproca, precisamos apenas trocar a hipótese com a tese:
E, finalmente, para termos a inversa, basta negar tanto a hipótese, quanto a tese:
Passo 3
Dá uma olha nessa próxima:
Que proposição estranha né? Hahaha Bom, esquece isso e foca no que interessa: chamar uma oração de e outra de .
Não é tão complicado fazer isso, basta olharmos pro “então”. Esse cara é a nossa seta.
Sendo assim, o que vem antes dele é a hipótese (normalmente chamamos de ) e o que vem depois é a tese (normalmente chamamos de ):
Então nossa implicação é do tipo:
E aí, vamos encontrar o que se pede!
Para acharmos a contrapositiva, a gente troca a hipótese (termo antes da seta) com a tese (termo depois da seta) e nega as duas:
Lembrando que nossa implicação estava em português, então responderemos em português. Temos então:
Passo 4
Para encontrarmos a recíproca, precisamos apenas trocar a hipótese com a tese:
Novamente, em português:
E, finalmente, para termos a inversa, basta negar tanto a hipótese, quanto a tese:
Em português:
Gente, parece bobo, mas é muito importante que você passe pro português, você pode perder muitos pontos se não fizer isso! Atenção, meu anjo!
Passo 5
Se liga nessa última:
Bom, vamos passar para a linguagem matemática:
Perceba que chamei só porque temos uma negação ali. A mesma coisa fiz com , como aparece um “não” na frase, achei de bom tom colocar um “não” acompanhando o e o . Então nossa implicação é do tipo:
Para acharmos a contrapositiva, a gente troca a hipótese (termo antes da seta) com a tese (termo depois da seta) e nega as duas:
Lembrando que nossa implicação estava em português, então responderemos em português. Temos então:
Passo 6
Para encontrarmos a recíproca, precisamos apenas trocar a hipótese com a tese:
Novamente, em português:
E, finalmente, para termos a inversa, basta negar tanto a hipótese, quanto a tese:
Em português:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Atribua um valor verdade as seguintes proposições:
Passo 1
Bom, nessa questão nós temos implicações em todas as alternativas e precisamos julgar se as implicações são verdadeiras ou falsas.
Vou colocar nossa tabela verdade em todos as alternativas, mas tentar não focar tanto nela, e sim no pensamento lógico por trás de tudo isso!
Essa é a nossa tabelinha, agora vamos começar com a letra
Vamos escrever nossa implicação para a linguagem matemática:
A gente já viu na nossa teoria que a ÚNICA maneira de uma implicação do tipo “ implica ”
Ser FALSA é se acontecer e não acontecer. Vamos julgar nossas proposições:
Afinal, é par.
Afinal, é ímpar.
Como e são verdadeiras, é VERDADEIRA
Passo 2
Vamos ver a próxima:
Identificando e :
Agora vamos avaliar essas proposições. Sabemos que é par, então:
Para nossa implicação ser verdadeira, dado que já sabemos que a hipótese é verdadeira, precisamos que a tese também seja, mas não é ímpar, então:
Veja a tabelinha da verdade:
Portanto, essa implicação é falsa.
Passo 3
Sério, se liga nessa aqui hahahahahah
Essa frase não sentido algum né? Dá muuuuita vontade de dizer que é falsa, MAS você precisa lembrar que neste caso, não estamos avaliando a veracidade do que está sendo dito, mas a relação de implicação!!! Então, vamos com calma, identificando e primeiro:
Gente, é muito óbvio que nenhuma mãe é um freezer (olha o respeito hein hahah), que sá a minha, então:
E eu sei que pode ter gente nesse mundo bem fria, que dê muito gelo nos crushes da festa e tal, mas literalmente ninguém é um gelinho, então:
Sendo que, para uma implicação ser verdadeira, dado que a hipótese já é falsa, não importa o que a tese é, nossa implicação será verdadeira, olhe a tabelinha:
Portanto, verdadeira!
Passo 4
Por último, porém não menos importante:
Vamos novamente escrever na linguagem matemática:
Agora para julgar cada um, eu vou reescrever o desse jeitinho:
Para ser verdadeira, precisamos que as duas proposições sejam verdadeiras: não é par e a não é primo. Porém, apenas uma é verdadeira, que é aquela que diz que ele não par. Portanto:
Afinal, é ímpar.
Como temos a hipótese e a tese falsas, nossa implicação é verdadeira. Olhe a tabelinha:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Para os pares de proposições e diga se é condição necessária, suficiente ou ambas para . Em todos os exemplos considerem como sendo um número natural.
Passo 1
FAAAALA AÍ, MEU ANJO! Essa questão parece meio chata, mas é só você lembrar de uma coisinha, que ela mais legal e tranquila!
Tu lembra o que é ser uma condição necessária ou suficiente ou ambas???
“Tá louco, esse negócio é muito enjoado”
Fique calmo, eu vou te lembrar e você verá que isso não é um monstrinho!
Uma proposição é dita condição suficiente para uma proposição , se implica . Ou seja, você só precisa verificar se é verdadeira e então será condição suficiente.
Uma proposição é uma condição necessária para uma proposição , se implica . Ou seja, agora você só precisa verificar se é verdadeira e então será condição necessária.
Adivinha o que você tem que fazer pra checar se é condição necessária e suficiente para ?
Exatamente!!! Você precisa verificar se e são ambas verdadeiras!
Passo 2
Finalmente, depois de relembrar, vamos fazer o primeiro item:
Verificando se as implicações são verdadeiras ou não:
:
Se estivéssemos pensando nos números reais, iríamos dizer que isso é falso porque temos, por exemplo, o número que é maior que e não é maior que .
Porém, estamos nos números naturais, então precisamos pensar apenas nos inteiros positivos.
Se eu pegar o , ele é maior que , mas não é maior que (e sim igual). Portanto, essa implicação é falsa.
Passo 3
Próxima implicação:
Opa, isso já verdade. Qualquer número natural que você pegue que seja maior que vai ser maior que , pois até o próprio já o é. Então, essa implicação é verdadeira.
Como apenas a recíproca foi verdadeira, temos que é uma condição necessária para .
Passo 4
Bora dar uma olhada na próxima:
Novamente, o que temos que fazer é julgar as implicações:
Se pensarmos nos números reais, iríamos ver que temos infinitos número entre e que não fosse o , mas estamos pensando aqui apenas nos números naturais. De fato, o único número natural entre e é o . Logo, é verdadeira.
Passo 5
Vamos analisar o outro caso:
Nossa, isso é MUITO verdade. Se temos que , esse precisa estar entre e , já que está entre e .
Como as duas implicações são verdadeiras, temos que é condição necessária e suficiente para .
Passo 6
Finalmente a última:
Vamos analisar de novo as implicações:
Vou traduzir isso pra geometria:
Isso faz algum sentido pra você? Agora só porque eu tenho dois olhos, quer dizer que tenho três? Hahaha esse exemplo foi bem exagerado, mas você entende a ideia absurda dessa implicação?
Ela é falsa.
Passo 7
Vamos analisar o outro caso:
Traduzindo para a geometria:
Agora sim! Essa frase está correta. Se eu tenho duas bolsas, não é mentira eu dizer que tenho uma, eu só não estou afim de dizer que tenho duas hahaha minhas analogias são as melhores!
Então como apenas é verdadeira, temos que é condição necessária para .
Resposta
Exercício Resolvido #4
Seja a proposição com . Para as seguintes proposições, reescreva-as em português e atribua um valor verdade
Passo 1
NOOOOSSA MEU CORAÇÃO NÃO AGUENTA VER TANTOS “EXISTE” E “PARA TODO” JUNTO
Vamos com calma, meu anjo. Começando do começo:
Vamos traduzir isso para o português, lembrando que a vírgula continua como vírgula e vira “tal que”:
Será que isso é verdade? Vamos ver:
Isso é verdade e vai ser verdade para todos os números que você testar como sendo e . Portanto, a afirmação é verdadeira.
Passo 2
Vamos para a próxima:
Traduzindo para o português:
Para verificarmos se isso é verdade, precisamos encontrar um único que obedece a aquela relação para todo e qualquer .
Cara, se , podemos pegar qualquer em que a relação será verdadeira, dado que é sempre maior que para qualquer número em .
Logo, é verdadeira.
Resposta
Exercício Resolvido #5
O que as seguintes afirmações significam? Elas são verdadeiras? Dê exemplos e contraexemplos quando possível. O universo de discurso em todos os casos é os números naturais.
Passo 1
Eu sei que você deve estar cansado de ver esses símbolos, mas não desanime! Pense que você vai lacrar na sua prova 😊
Nessa questão, o enunciado pede que façamos a tradução (vamos escrever em português), digamos se é universal ou particular, digamos se são verdadeiras ou não e que demos exemplos e contraexemplos quando for possível.
Então temos quatro atividades em cada letra. Vamos começar do começo:
Traduzindo para o português (lembrando que estamos tratando dos números naturais):
Ou seja, para qualquer número natural existe um número natural que é maior que .
Anjo, isso �� verdade! Pensa no como sendo um teto para o . Não importa o número natural que você escolha, pode ser , eu vou encontrar um nos naturais que seja maior que ele, por exemplo . Então um exemplo genérico seria escolher nosso como .
Não existe contraexemplo, pois um contraexemplo seria um número natural que não tivesse NENHUM , nenhum número maior que ele!
Passo 2
Bora traduzir pro português:
Ou seja, existe um número natural que é maior que para todo e qualquer natural
Isso é uma mentira!!!
“Mas gente, é igual ao caso de cima”
Não é não! Aqui, realmente o continuou sendo o teto de , mas agora você tem que escolher o ANTES do . É essa a diferença crucial que muda tudo.
Suponha que a gente escolha o bem grande, pra ser um bom teto, pensa aí no
Esse número que escolhemos precisa ser maior que TODO e QUALQUER número natural . Agora eu te pergunto, esse que escolhemos é maior que ? Não, né?
Sabe o porquê?
Qualquer, eu repito, QUALQUER que você escolha para ser o teto, eu sempre terei um número maior que o seu pra te quebrar! De forma genérica, se você escolher , eu escolho meu como sendo e ganho de você!
Então um contraexemplo seria justamente isso, , pois não é maior .
Passo 3
Bora pra próxima!
Traduzindo essa coisa linda:
“A mesma coisa de antes e você vai me dizer que é diferente né?”
Exatamente! São coisas diferentes! Hahahaha
Ou seja, existe um número natural que é menor que todo e qualquer número natural .
Agora podemos olhar isto de outro ângulo: pensar em como sendo um chão. Então pensaríamos num número natural que seja menor que todos os outros!
Bom, o menor número natural é o zero! Então se escolhermos e escolhermos também, vamos ter . Logo, Não existe um número natural que seja menor que para todo que a gente escolher!