Equação do 1º Grau
Teoria
Fala aí, você chegou no Responde Aí. E vamos nessa aprender tudo sobre Equações do 1º Grau
Equações polinomiais do primeiro grau
As equações polinomiais do primeiro grau, ou simplificando, as equações do 1º grau são as equações parecidas com essa aqui:
Ela possui três componentes chaves: os valores conhecidos, que são os dados do problema; o valor desconhecido que queremos achar que é chamado de incógnita; e o sinal de igualdade
Ou seja, as equações funcionam como uma balança. tudo que está do lado direito, tem que ser igual ao que está do lado esquerdo.
Então, no exemplo
Pensando um pouquinho, a gente percebe que deve ser
Mas nem sempre é assim tão fácil.
Passando valores de um lado pra outro da equação
Para resolver equações mais complexas usamos algumas regrinhas.
A principal dela é que podemos passar uma operação para o outro lado da equação invertendo a operação
Exemplo 1
Certo dia, Joaquim foi comparar um lanche. O salgado custava
A gente pode resolver esse problema usando uma equação. A gente sabe que o preço de um salgado mais refrigerante é igual ao preço do combo. Vamos escrever isso:
A gente já sabe que o salgado custa
Porém, escrever “preço do refrigerante” fica muito grande e não é nada prático. Então vamos substituir isso por uma única letra:
E olha só! Chegamos em uma equação do primeiro grau! E agora? Como resolvemos isso?
A gente passa o
E agora resolvemos:
E chegamos que
Videoaula
Quer saber mais sobre equações do primeiro grau? Então confere esse vídeo sobre o tema:
Agora confere uns exercícios pra praticar 👇
Videoaula
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Elaboração Própria
Resolva a equação do primeiro grau:
Passo 1
Vamos lá!! Nesse exercício queremos encontrar o valor de que satisfaça a equação
Certo?
Para encontrarmos o valor de vamos isolar ele de um lado da equação. Assim, o resultado ficará do outro lado da igualdade!!
Passo 2
Por onde começamo então? Se você reparar, temos um e um dentro de um parêntesis, certo?
Vamos tentar sumir com eles para facilitar nossa vida. Para isso, vamos fazer a multiplicação distributiva. Repare que no termo é como se tivéssemos um multiplicando:
Fazendo a multiplicação, ficamos com
Podemos dar uma arrumada fazendo as multiplicações do lado esquerdo da equação
Beleza?!
Agora vamos somar todos os termos que tem o e todos os que não tem em ambos os lados da equação
Assim, ficamos com
Show de bola?!
Passo 3
Próximo passo vai ser isolar o que tem de um lado da equação e o que não tem do outro lado!!
Para isso, vamos somar ambos os lados da equação por
Somando novamente tudo o que não tem em ambos os lados da equação, ficamos com
Uma outra forma de ver isso é que quando passamos os números de um lado da igualdade pro outro, invertemos a operação. Aqui poderíamos pegar o e passar pro outro lado invertendo o sinal: como é negativo, passamos pro outro lado com o sinal de menos “+“ na frente!
Podemos agora somar os termos que não tem do lado direito da equação, e assim ficamos com
Passo 4
Continuando o nosso objetivo de isolar o , iremos passar o termo do lado direito da equação para o lado esquerdo. Assim ficaremos com todos os termos que tem do lado esquerdo e os termos que não tem do lado direito da equação!!
Como o é positivo, ao passar pro outro lado ele ficará com o sinal negativo!
Agora é só fazer a continha do lado esquerdo
Pra finalizaaaaar, multiplicar ambos os lados da equação por , assim conseguimos sumir com o sinal negativo do lado esquerdo da equação:
E assim encontramos o nosso valor de !!
Show de bola?!
Passo 5
Podemos confirmar que o valor que encontramos para está correto. Para isso, basta substituirmos na equação do enunciado o valor que encontramos.
Nossa equação do enunciado é
Substituindo o valor nessa equação
Fazendo as continhas em ambos os lados da equação, temos
Opa!!! Se você reparar temos essa igualdade e verdadeira, pois é igual a !! Então o valor de que encontramos está correto!!
Resposta
Exercício Resolvido #2
Elaboração Própria
Qual é o valor de que poderá satisfazer a equação do primeiro grau:
Passo 1
Opaaa! Nesse exercício queremos encontrar o valor de que satisfaça a equação
Certo? Como podemos fazer isso???
Para encontrarmos o valor de vamos isolar ele de um lado da equação. Assim, o resultado ficará do outro lado da igualdade!!
Passo 2
Por onde começamos???? Se você reparar, temos um dentro de um parêntesis, certo? Vamos tentar sumir com ele para facilitar nossa vida. Para isso, vamos fazer a multiplicação distributiva:
Fazendo a multiplicação, ficamos com
Beleza?!
Agora vamos somar todos os termos que tem o e todos os que não tem em ambos os lados da equação
Assim, ficamos com
Show de bola?!
Passo 3
Próximo passo vai ser isolar o que tem de um lado da equação e o que não tem do outro lado!!
Para isso, vamos subtrair ambos os lados da equação por
Somando novamente tudo o que tem em ambos os lados da equação, ficamos com
Uma outra forma de ver isso é que quando passamos os números de um lado da igualdade pro outro, invertemos a operação. Aqui poderíamos pegar o e passar pro outro lado invertendo o sinal: como é positivo, passamos pro outro lado com o sinal de menos “-“ na frente!
Passo 4
Continuando o nosso objetivo de isolar o , iremos passar o termo do lado esquerdo da equação para o lado direito.
Como ele é positivo, iremos inverter o sinal ao passar pro outro lado:
Agora é só fazer a continha do lado direito
Pra finalizaaaaar, vamos passar o que estão multiplicando o do lado esquerdo da equação para o lado direito. Assim conseguimos isolar o nosso !!
Como ele está multiplicando o , ao passar para o lado direito iremos inverter o sinal. Ou seja, ele passará dividindo:
Agora só falta resolver a divisão!!!! E assim conseguimos chegar no nosso valor de
Show de bola?!
Passo 5
Podemos confirmar que o valor que encontramos para está correto. Para isso, basta substituirmos na equação do enunciado o valor que encontramos.
Nossa equação do enunciado é
Substituindo o valor nessa equação
Fazendo as continhas em ambos os lados da equação, temos
Opa!!! Se você reparar temos essa igualdade e verdadeira, pois é igual a !! Então o valor de que encontramos está correto!!
Resposta
Exercício Resolvido #3
Elaboração Própria
Determine dois números onde sua soma é 25 e sua difereça é 5.
Passo 1
Vamos lá! Queremos determinar dois números que chamaremos de e onde a soma é
E, além disso, sua diferença é
Beleza?!
Aqui se você reparar na verdade teremos um sisteminha
E precisamos resolvê-lo para encontrar os valores de e !
Passo 2
Para resolver o sistema
Vamos utilizar o método da substituição que nada mais é que encontrar o valor de uma das incógnitas em uma das equações e substituí-la na outra. Assim, vamos isolar o na segunda equação
Para isso, somaremos ambos os lados da equação por
Fazendo as continhas, ficamos com
Passo 3
Agora substituiremos esse valor de na 1ª equação
Substituindo o valor , temos
Fazendo as continhas do lado esquerdo da equação, ficamos com
Qual o próximo passo?? Isolar o !! Para isso, vamos passar o para o lado direito da equação
Agora só falta passar o dividindo para o outro lado da equação, já que ele está multiplicando o . Assim,
Ou seja, fazendo a divisão, encontramos o valor do
Beleza?!
O que falta agora?????
Passo 4
Pra fechar com chave de outro, vamos substituir o valor de na segunda equação para encontrar o valor de !
Assim, substituindo , temos
Ou seja, encontramos os valores de e !
Beleza?!
Passo 5
Podemos conferir se esses valores que encontramos satisfazem as condições do nosso enunciado: Determine dois números onde sua soma é 25 e sua difereça é 5.
E
Ou seja, os valores estão corretinhos!!!
Resposta
Exercício Resolvido #4
Elaboração Própria
Se somarmos 4 números consecutivos teremos o número . Quais são esses 4 números?
Passo 1
O enunciado nos diz que se somarmos 4 números consecutivos teremos o número . Se chamarmos o primeiro número de , os outros serão
Concorda?!
Sabemos pelo enunciado que a soma desses quatro núemros consecutivos dá . Assim,
Beleza?!
Agora é só resolver a equação e encontrar o valor de para depois verificarmos o valor de cada um dos 4 números!!
Passo 2
Para começar a resolver a equação
Somaremos do lado esquerdo os termos que possuem e os que não possuem
Beleza?!
Agora vamos deixar o que tem de um lado e o que não tem do outro lado. Para isso, precisamos colocar o do lado direito da equação. Ao trocar de lado, como o é positivo, ao ir para o lado direito ele vai com o sinal de
Fazendo a conta do lado direito da equação
Show de bola?!
Para isolar e encontrar o valor de vamos passar o que está multiplicando o do lado esquerdo para o lado direito da equação. Como ele está mutiplicado, passará dividindo para o outro lado
Fazendo a continha, encontramos o valor de
Beleza?!
Passo 3
Agora precisamos encontrar os 4 valores consecutivos que, quando somados, dá 62.
Assim, como
Ou seja, os 4 números consecutivos que quando somados dão são , , e !!
Passo 4
Para conferir se a resposta que encontramos está correta, podemos conferir se de fato ao somar esses 4 números teremos 62
Ou seja, o valor que encontramos está correto!!!
Resposta
, , e
Exercício Resolvido #5
PUC - RJ
3/5 de um número somados a 1/2 é igual a 2/3 desse número. Indique a opção que apresenta esse número.
Passo 1
Bom, vamos lá! Vamos tentar Traduzindo o conteúdo do enunciado em uma equação?! O enunciado diz,
Bugou?! hahaha
Vamos escrever reescrever essa frase de uma forma matemática e encontrar o valor “desse número” misterioso, beleza?!
Passo 2
Esse número que não sabemos qual é vamos chamar de , beleza?!
Assim, podemos escrever
Tá... mas o que quer dizer de um número? O que essa frase quer nos dizer é que queremos calcular de um número (que estamos chamando de ). Assim, no fundo o que estamos fazendo é a multiplicação de com !
Ou seja, colocando a frase toda no “matematiquês”, teremos
Beleza?!
Nosso objetivo é “isolar” o , assim conseguimos encontrar o valor dele!
Passo 3
Agora vamos organizar e fazer as continhas!!
Primeiro vamos subtrair ambos os lados da equação por :
Fazendo as continhas, ficaremos com
Show de bola?!
Passo 4
Agora vamos jogar tudo o que tem pro mesmo lado da equação!! Como podemos fazer isso?
Faremos isso substraindo ambos os lados da equação por :
Uma outra forma de ver isso é que quando passamos os números de um lado da igualdade pro outro, invertemos a operação. Como o é positivo, passamos pro outro lado com o sinal de “-“ na frente!
Fazendo as continhas, ficamos com
Como o e o estão acompanhados do , podemos juntar eles! MAS PERAEEEEE, OS DENOMINADORES SÃO DIFERENTES! Não podemos apenas subtrair os dois!! Precisamos fazer o mmc entre os fatores e do denominador e multiplicamos o numerador pelo oposto do número que está no denominador:
EPAAAAA!! Agora se você reparar as duas frações possuem o mesmo denominador, aí podemos fazer a subtração repetindo o denominador!!!
Repare que , concorda? Então no numerador teremos e o denominador de repete:
Pra finalizar, jogaremos pro outro lado o e assim conseguiremos isolar nosso !!!
Se o está multiplicando o do lado esquerdo, ele pode passar pro outro lado da equação invertendo a operação! Logo, ele passa pro outro lado dividindo:
Como saímos dessa? Quando temos divisão de frações podemos multiplicar a primeira equação pelo inverso da segunda. Assim:
Multiplicando os numeradores e os denominadores, temos
Ou seja, nossa resposta é a letra (E)!!
Resposta
Letra E
Exercício Resolvido #6
Elaboração Própria
Mariana é 8 anos mais velha que sua irmã. Daqui a sete anos ela terá o dobro da idade de sua irmã. Quantos anos Mariana tem agora?
Passo 1
Bom, vamos lá! Queremos saber a idade da Mariana, certo? Sabemos que ela é 8 anos mais velha que sua irmã. Então vamos chamar de a idade da irmã dela
Como Mariana é oito anos mais velha que sua irmã, idade da Mariana agora é
Beleza?!
Portanto, se encontrarmos o valor de , descobrimos a idade de Mariana agora!!
Tá... mas como faremos pra calcular o valor de ? É o que veremos agora!!
Passo 2
Para descobrir o valor de vamos continuar usando as informações que são dadas no enunciado pra gente. Show de bola?!
No enunciado diz que daqui a sete anos, Mariana terá o dobro da idade de sua irmã. Como podemos escrever isso de uma forma matemática?
Vimos no passo anterior que
Assim, daqui a sete anos, a idade da irmã da Mariana será
Beleza?! Da mesma forma, a idade de Mariana agora é
Então qual será a idade da Mariana daqui a sete anos? Será
Show de bola?!
Se você reparar, podemos somar o que ficaremos com
Concorda?!
Além disso, no enunciado diz pra gente que daqui a sete anos Mariana terá o dobro da idade de sua irmã. Assim,
Beleza?!
Passo 3
Agora vamos juntar tudo e encontrar o valor de !!
Para isso, vamos ler a frase do enunciado novamente: Daqui a seis anos Mariana terá o dobro da idade de sua irmã, ou seja,
Aeeeee, agora vamos fazer as continhas para encontrar o valor de !!
Passo 4
Vamos lá! Temos a seguinte equação
Vamos fazer a distributiva do lado direito da equação
Ficando com
Beleza?!
Agora vamos somar ambos os lados da equação por
E pra finalizar vamos somar em ambos os lados da equação
OPAAAAAAA! Encontramos o valor de !!! O que falta entao???
Lembra que Mariana é oito anos mais velha que sua irmã????
Ou seja,
Ou seja, Mariana agora tem 9 anos!
Belezuuura?!
Resposta
Mariana agora tem 9 anos.
Exercício Resolvido #7
Elaboração Própria
Sabemos que quatro irmãos juntos tem . Mariana tem a mais que Juliana. Juliana tem a mais que João e João a mais que Breno. Quantos reais cada um deles tem?
Passo 1
Vamos lá! Para resolver esse problema primeiro precisamos compreender o enunciado e depois vamos montar a equação para encontrar quantos reais cada um dos irmãos tem.
Para compreender o enunciado, vamos identificar os dados conhecidos e os desconhecidos, beleza?!
Sabemos que Mariana tem a mais que Juliana. Juliana tem a mais que João e João a mais que Breno, mas não sabemos quantos reais Breno tem, então vamos chamar de a quantidade de reais que Breno tem:
Passo 2
Vamos continuar com o raciocínio para montar a nossa equação...
Sabemos que João tem a mais que Breno, assim
Da mesma forma, Juliana tem a mais que João. Portanto,
Podemos fazer a soma dos termos que não tem
Por fim, Mariana tem a mais que Juliana
Somando os termos que não possuem , ficamos com
Show de bola?!
Passo 3
Agora para montar a equação precisamos utilizar a informação de que os quatro irmão juntos tem .
Assim, somando a quantidade de reais de todos os irmãos e igualando a temos
Passo 4
Agora precisamos encontrar o valor que cada irmão tem!!!
Lembra que
Assim,
Beleza?!
Da mesma forma, para os outros irmãos
Ou seja, João tem reais.
Continuando....
Ou seja, Juliana tem reais.
E para Mariana
Portanto, Mariana tem reais.
Beleeeeza?!
Passo 5
Podemos confirmar que os valores que encontramos para cada irmão está correto. Para isso, vamos somar o valor que cada irmão tem e verificar se dá no total:
Fazendo as continhas ficamos com
Ou seja, a igualdade é verdadeira e o valor que encontramos está correto!!!
Resposta
Exercício Resolvido #8
Vestibular da EEAR
A diferença entre as idades de duas pessoas é 20 anos e a razão é 4/9. Qual é a soma das idades das duas pessoas, em anos?
a)36
b)48
c)52
d)60
Passo 1
O lance aqui é montar equações com os dados propostos. Vamos chamar a idade de uma pessoa de e a outra de . Se a diferença entre a idade das duas é anos, então:
E a razão é:
Então temos o sistema:
Poderíamos mudar a ordem de e nas duas equações, é só uma questão de nomenclatura.
Passo 2
Para resolver esse sistema, vamos deixar uma variável em relação a outra. Pegando a segunda equação:
Agora, substituímos na primeira equação:
Agora, só lembrar que:
E substituir o valor de encontrado:
Passo 3
A soma das duas será, portanto:
Já dá um jovem senhor. Letra c!
Resposta
Letra c
Exercício Resolvido #9
Elaboração Própria
A raiz da equação abaixo está compreendida entre qual intervalo de números inteiros consecutivos?
Passo 1
Você pode pensar que está não é uma equação de primeiro grau por causa das raízes, mas isso não é verdade. As raízes estão nos coeficientes da equação e não na potência de , dessa maneira, podemos resolver normalmente.
Lembrando que a raiz da equação é o valor número de que satisfaz a equação. Então vamos achar o valor de .
Primeiro, vamos tentar isolar o :
Deixando o em evidência:
Isolando:
Pronto, essa é a solução!
Passo 2
Mas só isso não basta, precisamos ver em qual intervalo de números inteiros podemos colocar isso. Veja que:
Assim:
Como o denominador é maior que o numerador, essa divisão vai ser menor que um. Da mesma maneira, como dividimos dois números positivos, o resultado também será positivo, ou seja, maior que zero.
Portanto, concluímos que o resultado está entre e :
Resposta
Exercício Resolvido #10
Elaboração Própria
Uma pessoa esteve ¼ de sua vida solteira, 3/5 casada e nove anos viúva. Sua idade quando morreu era, em anos:
a)54
b)60
c)65
d)72
Passo 1
Primeiramente vamos descartar a possibilidade da pessoa ter se divorciado, se não o problema não teria solução única.
Assim sendo, a vida da pessoa será o tempo que ela passou solteira, mais o tempo que passou casada acrescido do tempo que passou viúva. Veja também que o tempo solteira e casada está descrito em parcela da vida e não em anos, como acontece no tempo de viúva. Chamando o tempo de vida de , então:
Isolando :
anos de altos casamentos e até que morte os separe.
Resposta
Letra .