Em uma inequação trigonométrica temos uma desigualdade com pelo menos uma função trigonométrica!
Como por exemplo:
Beleza, mas como resolver uma inequação trigonométrica?!
Pra responder essa pergunta, se liga nesse vídeozinho supercompleto que o Responde Aí preparou sobre inequações trigonométricas 👇
Ou continua comigo no textinho! Vamos aprender a resolver vários tipos de inequações trigonométricas 🤩
Resolva a Inequação no intervalo
A primeira coisa que temos que ter em mente, é que a função seno é limitada da seguinte forma:
Essa afirmação é verdadeira para todos os valores de . Mas aqui estamos considerarmos, porém, somente a primeira revolução, que é o nosso intervalo:
$$0
Agora, quando pegamos a nossa inequação:
Aqui, estamos pegando a inequação fundamental do seno e restringindo-a ainda mais. Onde os valores de possíveis serão aqueles cujo seno é menor que .
Pra a gente resolver essa inequação, vamos analisar o círculo trigonométrico quadrante a quadrante no sentido anti-horário!
Primeiro Quadrante: $0
A primeira coisa que temos que fazer é nos perguntar, “dentro desse intervalo, quando ?”
No primeiro quadrante, quanto maior o ângulo, maior o seno, então, vamos dar uma olhadinha no círculo trigonométrico pra tudo ficar mais claro:
Circulo Trigonométrico: Primeiro quadrante
Podemos observar que para obedecer nossa inequação no primeiro quadrante deve ser menor que .
Ou, escrevendo isso de uma maneira mais formal: Para que , no intervalo entre $0
Segundo Quadrante:
No segundo quadrante, quanto maior o ângulo, menor o seno!
No começo do quadrante, temos e no final , queremos que seja menor do que .
Para isso nos perguntamos “dentro desse intervalo, quando ?”
Então a gente sabe que no final do quadrante e quando , temos ou seja, precisamos ficar dentro desse intervalo, que é:
$$\frac{5\pi}{6}
Pra ficar mais visual, se liga na imagem abaixo:
Circulo Trigonométrico: Segundo quadrante
Repara que a região onde esta marcada como , mas calma, isso quer dizer a mesma coisa que , só que estamos caminhando no sentido horário!
Terceiro e Quarto Quadrantes
No terceiro e quarto quadrante o seno é sempre negativo, então ele vai ser sempre menor que ! Molezinha 😉
Terceiro e Quarto quadrantes
Podemos responder o nosso problema então! O resultado da inequação no intervalo $0
$$0≤x<\frac{\pi}{6}~~\text{e}~~\frac{5\pi}{6}
Para resolver problemas com cosseno você vai seguir essa mesma lógica!
Resolva a Inequação: no intervalo
A tangente, ao contrário do seno e cosseno, não é limitada, o seja, sua imagem admite quaisquer valores entre menos e mais infinito.
Assim sendo, como resolver inequações com tangente? Basta lembrar de uma coisa: a tangente é sempre crescente entre os quadrantes.
Dessa maneira, para nosso exemplo:
$$\tan(x)>1~~~~~~~ 0
Achamos primeiro o ponto onde a tangente vale .
E, como a tangente é sempre crescente e queremos valores maiores que :
$$\frac{\pi}{4}
Com valores menores que porque esse foi o limite imposto na inequação.
Inequações com secante, cossecante e cotangente
Agora, pra acabar! Por definição, temos que:
Dessa maneira, uma inequação como:
Leva a:
Que implica que:
Com o sinal trocado! Agora, é só resolver da mesma maneira que fizemos na primeira seção. Para cotangente, é só lembrar que esta será sempre decrescente entre os quadrantes, ou seja:
$$0
Ocorre para quando:
$$\frac{π}{4}
Exercício Resolvido:
Considere a constante .
Para que a equação tenha em duas raízes reais e distintas, poderá assumir todos os valores de que intervalo?
A resolução desse exercício você pode encontrar no vídeo abaixo:
Agora você pode conferir mais exercícios resolvidos sobre inequações trigonométricas!
Resolva a Inequação no intervalo
Resolva a Inequação: no intervalo
Inequações com secante, cossecante e cotangente
Exercício Resolvido:
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Elaboração Própria
Determine a solução da inequação no intervalo .
Passo 1
Primeiramente, vamos determinar onde o cosseno atinge os valores extremos do intervalo. Por tabela:
E:
Passo 2
Mas algo que eu recomendo fazer pra não se confundir é usar o círculo trigonométrico:
Queremos todos os à direita dessa reta, ou seja:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Elaboração Própria
Determine o conjunto solução para a inequação para .
Passo 1
Assim, como na teoria, temos:
E, portanto:
O cosseno vale em:
Passo 2
No enunciado:
Ou seja, os valores estão limitados ao primeiro quadrante, no qual a função cosseno é decrescente.
Como a função é decrescente e , então:
Para:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Elaboração Própria
Considere a constante .
Para que a equação tenha em duas raízes reais e distintas, poderá assumir todos os valores de que intervalo?
Passo 1
Vamos usar Bháskara para resolver isso aí, como se fosse uma constante, já que é outra variável:
Para que a função tenha duas raízes reais e distintas, precisamos que a parte dentro da raiz seja positiva e, portanto:
Ou:
Passo 2
O seno tem esse valor em:
No sentido anti-horário, o valor do seno vai diminuindo, depois sobe até atingir novamente em:
Conforme vemos no círculo trigonométrico:
Assim, para satisfazer
Devemos ter:
Então o intervalo procurado é
Resposta
Exercício Resolvido #4
Elaboração Própria
Determine a solução da inequação para
Passo 1
Ora ora, espere um pouco! Ainda não vimos nada parecido com isso, certo?
Não precisa se desesperar, se você observar direitinho essa estrutura parece uma inequação do 2º grau, né?
Para isso acontecer, basta dizermos que:
Aí, nossa inequação vai ficar com essa cara aqui:
Agora sim, isso a gente sabe resolver! (Ou pelo menos deveria hahaha)
Passo 2
Show, vamos resolver essa nova inequação que encontramos:
Aplicando Bhaskara na equação, teremos:
Então:
Passo 3
Como a função é crescente, então teremos algo assim para o nosso gráfico:
Ou seja, o y só será positivo para:
Passo 4
Mas espera um pouco, lá no início a gente disse que
Então, teremos que:
Já vimos que o cosx está sempre entre -1 e 1, então não é possível ele ser menor que -1 em nenhum intervalo.
Para o intervalo que foi proposto no enunciado( teremos:
Queremos todos os à direita dessa reta e que estejam no intervalo do enunciado, ou seja:
Show?
Resposta
Exercício Resolvido #5
Elaboração Própria
Determine a solução da inequação para
Passo 1
A primeira coisa que vamos fazer é abrir esse produto notável e melhorar a cara dessa inequação:
Rearrumando, temos:
Lembra da relação fundamental da trigonometria?
Ela nos diz que:
Substituindo, teremos:
Por fim, podemos escrever:
Essa expressão é bem mais amigável, né?
Passo 2
Show, agora precisamos analisar algumas coisas...
Só de olhar, percebemos que nem o seno e nem o cosseno podem ser iguais a zero. Mas para quais valores de x vai valer essa nossa inequação?
Vamos analisar o nosso ciclo trigonométrico:
Os únicos intervalos onde teremos essa multiplicação dando valores negativos, vai ser entre e entre
