Identidade de Parseval
Teoria
São raros os casos em que conseguimos obter o valor da soma de uma série! Então quando ele te perguntar desse valor o que você vai fazer? Chorar?! Jamais! Você vai pensar na identidade de Parseval.
Como aprendemos, com a série de Fourier, podemos escrever uma função periódica da seguinte forma:
A identidade de Perseval é dada por essa fórmula aqui
Isso mesmo, essa relação é com os mesmos coeficientes da série de Fourier da função
Tá vendo que se eu conseguir calcular o valor da integral e do , eu sou capaz de descobrir o valor da soma da série?? Então esse vai ser o nosso objetivo.
Exemplo: Seja:
A partir de , Mostre que:
Passo 1: Vamos encontrar os coeficientes da série de Fourier para relacionarmos na Identidade de Parseval.
Os coeficientes da série são:
Como , sabemos que o período da função é , esse é o intervalo em que ela se repete.
Passo 2: Vamos calcular
Fazendo na expressão de , temos:
Ok, mas o que colocamos no lugar de ? Veja que de a temos duas expressões diferentes para , então o único jeito é dividir essa integral em duas, olha só:
Veja os intervalos que escrevemos! A função vale em e em . Resolvendo essas integrais, temos
Passo 3: Agora vamos calcular os outros ’s.
Temos que:
Dividindo essa integral em duas, como fizemos com :
Passo 4: Agora só falta calcular os ’s
Dividindo essa integral em duas:
Sempre que você encontrar um cosseno (ou seno) na expressão do ou tente se livrar dele, porque isso simplifica a resposta. Em das vezes, você consegue fazer isso por essa análise aqui:
Logo
Passo 5: Agora vamos substituir tudo o que encontramos, temos:
Isso nos dá:
Agora vamos com calma. Não podemos escrever direto porque isso só vale para ímpar! Vamos definir então , porque isso garante que temos índices ímpares, ok? Temos então
Passo 6: Agora vamos pensar um pouco. Temos que utilizar a relação de Parseval para encontrarmos o que queremos. Vamos lá:
Utilizando a relação de Parseval:
Substituindo os valores, temos:
Então chegamos a:
Ajustando:
Com isso chegamos aonde queríamos:
Esse tipo de questão são trabalhosas, por isso devemos fazer bastante para não erramos!
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
USP - Cálculo 4 - P2 2010 – 3
- Determine a série de senos da função ,
- Seja a soma da série obtida no item a. Determine e esboce o gráfico da função .
- Calcule a soma da série
Passo 1
Vamos começar essa parada fazendo o gráfico dessa série de Fourier.
Essa é a definição de que o problema deu de à
Para desenhar essa reta basta pegarmos os valores de e
Vamos fazer a extensão ímpar dessa função, porque o problema pede uma série de senos.
Primeiro nós espelhamos a função em relação ao eixo
Agora vamos espelhar essa reta verde no eixo
O período de é essa parte verde mais a parte azul!, é só repetir isso direto.
Pronto, temos então a função periódica. É bom desenharmos sempre esse tracejado para marcarmos o período da função, para não se perder!
Repare nos pontos de descontinuidade. Como estamos representando a função para qual a série de Fourier converge, nos pontos de descontinuidade a função vai valer a média dos limites laterais. Neste caso
Nos colocamos então bolinhas cheias em . (repare que todas as retas tem bolinhas vazias nas suas extremidades).
Esse gráfico ajudou a vermos como fica a parada, a grande questão agora é fazer os termos dessa série.
Passo 2
a)
Beleza, agora vamos montar o problema. Como a função é ímpar, temos
Com
E
Ambos com sendo
Como o período da função vai ser , vamos ter
Passo 3
Vamos calcular aqueles valores de
Vamos resolver essa integral por partes
Vamos ter
Assim vamos ter
Assim vamos ter
Passo 4
Agora a nossa função vai ser
Passo 5
b)
Vamos escrever agora como pode ser a nossa
Então como
Com
O gráfico vai ser aquele que já fizemos
Passo 6
c)
Nesse momento você para e pensa, como diabos farei essa série maldita? Repara que ele temos a série de Fourier de , e além disso olhando para essa série de Fourier podemos perceber que
Esse somatório que ele está querendo é muuuuuito parecido com o somatório de , esse te lembra alguma coisa? Podemos usar a identidade de Parseval aqui, isso porque ela vai transformar aquele somatório que ele deu numa integral que sabemos fazer.
Olha como a identidade de Parseval vai dar aquele somatório, lembra como ela é?
como vai sobrar só o como queríamos.
Passo 7
Vamos agora dar uma trabalhada na identidade de Parseval.
Aí vendo a cara da série que ele nos deu:
Pronto, agora é só substituir na igualdade
Repara que aqui estamos usando a extensão de , que vai ser ímpar então
Vamos substituir o valor de
Então
Resposta
a)
b)
Com
c)
Exercício Resolvido #2
USP - Cálculo 4 - P2 2013 – 3
a)Calcule a série de Fourier da Função
b)Sabendo que e usando o item anterior, calcule
Passo 1
a)Show, já temos a função definida de , se você olha pra cara dela, já da pra ver que não é par nem ímpar, então vamos ter que ter que determinar todas as constantes, ok?!
Partiu:
Próximo coeficiente:
Essa integral você resolve com integração por partes:
Mas
E por último:
Assim como a outra, vamos fazer uma integração por partes, é o mesmo raciocínio:
Então fica:
Passo 2
b)Vamos usar a identidade de Parseval para resolver esse paranauê
Ele falou pra usar o item anterio, então né, vamos usar o que achamos na letra a)
Mas antes vamos analisar um cara:
Ok, vamos pensar diferente, beleza? Se , então esse cara da , se ele for ímpar, então vai dar , mas isso é só pra ímpar, uma forma de expressar isso é:
Agora pode ter qualquer valor, o resultado dentro do parênteses representa esse novo e sempre dará ímpar para todo , sacou? Agora podemos usar o somatório normal.
Bem, era mais isso, vamos voltar pra identidade de Parseval e substituir os valores:
Mas opa, já sabemos que , então:
Colocando o somatório em evidência