Cálculo Funcional – Caso Não Homogêneo
Produzido por Carolina SabaTeoria
Introdução
O método de resolução através do cálculo funcional para sistemas não homogêneos é bem parecido com o que a gente fez no método da eliminação. A ideia é seguir o seguinte passo a passo.
- Resolver a EDO como se fosse homogênea – solução homogênea:
- Encontrar a solução particular:
- Encontrar solução geral:
Para achar a solução da homogênea é só usar o método que nós já vimos na outra teoria
A parte importante aqui é como achar a solução particular. Vamos rever aqui o que já falamos na teoria de método de eliminação não homogêneo
Vamos usar aqui o método dos coeficientes indeterminados. É importante se ligar em uma parada, para usar esse método a matriz deve ter funções que sejam uma dessas três
- Função exponencial:
- Função polinomial:
- Função trigonométrica: ,
Mas como fazemos essa solução particular? Primeiro vamos chutar uma solução particular, é isso mesmo chutar.
O passo a passo para isso vai ser
- Identificar :
- Supor com coeficientes a determinar
- Verificar se é solução da equação homogênea
- Calcular derivadas de :
- Substituir e suas derivadas na equação
- Encontrar coeficientes
- Substituir coeficientes em
Para supor com coeficientes a determinar, vai depender do tipo de funções temos em , ou seja, se é exponencial, polinomial ou trigonométrica.
Vamos ver alguns exemplos
Solução particular – exponencial
Quando a matriz tiver uma exponencial ou soma de exponenciais, supomos que é também uma exponencial de mesmo expoente:
Exemplo
A primeira coisa é arrumar essa
Esse é um vetor que queremos encontrar sacou? Esse é o coeficiente a determinar.
Vamos ver outro exemplo
Entendeu a ideia de arrumar? Temos que separar os exponenciais diferentes e escrever isso vezes uma constante.
Aqui temos que achar o vetor e o vetor .
É comum nomear as coordenadas desses vetores, fazendo algo assim
E
Ai fazemos as contas para achar essas novas constantes. Isso ajuda nas contas só isso, trabalhar direto com vetor dá um trabalho enorme.
Solução particular – polinomial
Quando a matriz tiver um polinômio, supomos que é também um polinômio, só que o grau desse polinômio vai ser o maior que tem em vamos ver uns exemplos
Exemplo
Aqui os dois são de grau então a solução particular vai ser
Onde e são vetores.
Quando temos polinômios não precisamos arrumar como fizemos antes.
Repara que colocamos o polinômio completo, fica atento para não esquecer algum termo ali hein.
Aqui temos um polinômio de grau e outro de grau , a solução particular vai ter a cara do maior grau, ou seja, um de grau . Vai ficar assim
Onde , , e são vetores.
Aqui de novo vamos nomear as coordenadas dos vetores como fazemos antes, fica atento a esse detalhe para que a conta fique mais tranquilinha.
Solução particular – trigonométrica
Quando a matriz tiver uma função trigonométrica (soma de senos e cossenos), supomos que é também uma soma de seno e cosseno de mesmo argumento, lembrando que argumento é o carinha dentro do seno ou cosseno:
Exemplo
Onde e são vetores.
Aqui de novo vamos nomear as coordenadas dos vetores como fazemos antes, fica atento a esse detalhe para que a conta fique mais tranquilinha.
Onde , , e são vetores.
Esse último parece mó doideira né? Fica atento que é assim mesmo que essa parada vai ser, vamos ter um par de soma de seno e cosseno para o e outro para para o .
Solução particular – combinação de diferentes tipos de funções
Finalmente, vamos ver o último tópico desse assunto. Vamos ver como supor quando possui uma soma ou multiplicação de diferentes tipos de funções.
A solução particular será também uma soma ou multiplicação dessas funções:
Onde , , , e são vetores.
Aqui de novo vamos nomear as coordenadas dos vetores como fazemos antes, fica atento a esse detalhe para que a conta fique mais tranquilinha.
Aqui como temos dois exponenciais diferentes vamos dar uma arrumada nessa parada
A nossa solução particular vai ficar
Onde , , , e são vetores.
Importante: Depois de determinar a solução da equação homogênea e supor , verificar se há termos da solução particular na solução da equação homogênea. Caso não haja, tudo bem! Caso haja, multiplique a parte de por e verifique novamente se ainda há termos da solução particular na solução da homogênea. Caso ainda haja, multiplique de novo por até que não haja mais. Mas tem outro detalhe, aquele valor inicial não some, vamos ver um exemplo para entende esse detalhe importante
Exemplo:
Resolva o seguinte sistema
A primeira coisa que temos que fazer é resolver o sistema homogêneo, para isso vamos identificar ,
O nosso sistema homogêneo vai ser
A resolução desse sistema não é a parte que estamos focando nesse capítulo, a solução desse sistema vai ser
Vamos agora para a solução particular, repara que a exponencial de é a mesma que aparece na solução homogênea, então a solução particular vai ser
Vamos fazer
A solução particular vai ser
Vamos derivar
Substituindo no sistema vamos ter
Arrumando isso tudo vamos ter
Isso nos diz que
Assim vamos ter
Somando essas duas equações vamos ter
Como
Além disso
Assim
Falta achar e , repara que o valor dele não interfere em nada na conta, então podemos pegar qualquer valor
Vamos fazer
A Solução particular vai ficar
E a solução geral vai ser isso mais a solução da homogênea
Partiu exercícios agora?