Método de Variação dos Parâmetros
Teoria
Introdução
A resolução pelo método de variação dos parâmetros é um método para resolver sistemas não homogêneos. O método consiste em: resolver o sistema homogêneo associado pelo método matricial e, depois, utilizar a variação de parâmetros para encontrar a solução particular.
Vamos rever o método matricial e depois ver o método para achar a solução particular.
Método Matricial
Aqui a primeira coisa a fazer é você escrever o sistema da forma matricial, mas como fazemos isso? Vamos ver primeiro o exemplo embaixo
Repara que de um lado temos só derivada e do outro só função linear.
Começamos fazendo
Repara que
Para escrever na forma matricial o sistema deve ficar assim
Essa matriz é dos coeficientes do sistema, naquele exemplo que dei vamos ter
E o sistema vai ser
Beleza?
Agora é que são elas!! Tendo essa matriz podemos resolver o sistema.
Vamos usar um pouco de álgebra linear aqui.
Primeiro, vamos achar os autovalores de e chamar de . Depois vamos achar os autoespaços associados a e chamar de
Temos possibilidades para esses autovalores e autoespaçoes associados. A resposta consiste em dois vetores e , vamos ver como eles ficam em cada caso.
Autovalores Reais diferentes
As funções vão ficar
Autovalores Reais 2 iguais
Aqui temos que achar o autovetor normalmente com a fórmula
Depois achar o vetor , para isso basta resolver a equação
E as soluções vão ser
Com
Autovalores Complexos
Os autovalores complexos têm essa forma
Os autovetores associado aos autovalores complexos são
Eu coloquei essa setinha em cima para mostrar que isso são vetores, no autovalor não são vetores, são escalares mesmo.
As soluções vão ser
Solução geral
Vimos em cada caso como fica cada uma das soluções, porque isso tudo? Porque a solução geral vai ser
Então tudo se resume a achar essas funções. Se você não está muito confiante, volta lá no sistema homogêneo.
Método da Variação dos Parâmetros
Como é o sistema não homogêneo? Vamos ver um exemplo
Repara que temos uma função de ali, dessa vez a forma geral do sistema vai ser
Então a função com vai ser , neste caso, vamos ter
Belezinha? Até aí nenhum problema né? Onde vai entrar a diferença?
Primeiro vamos precisamos resolver o sistema equivalente homogêneo, que seria aquele ignorando . Já resolvemos né? É o exercício beeem parecido com o que resolvemos no início do capítulo, que tal você fazer esse? A homogênea fica assim:
Vamos ter
Com as duas soluções temos o que chamamos de matriz fundamental.
Isso é uma matriz tá? A primeira coluna vai ser e a segunda coluna vai ser . Como vai ficar essa matriz então?
Agora vamos usar o método da variação dos parâmetros para resolver a parte não homogênea. Primeiro vamos definir uma função , tal que a solução do sistema de EDO seja:
Onde:
Agora vamos calcular esse rapazola de tal forma que ele vai ser solução de uma equação:
Sim, parece um bizu místico, mas tem como deduzir isso, a demonstração é um bucado densa porque tem essa representação matricial então vamos voar direto pra resolução, ok?
Esse é o método da variação de parâmetro sim, mas a cara é diferente porque a abordagem tem que ser matricial, as contas são mais diretas apesar de serem levemente maiores. Mas calma, já já vamos entender onde esse vai ajudar a gente a resolver isso!
Agora vamos precisar fazer a inversa de , lembra que para inverter uma matriz vai ser
Podemos fazer isso rapidinho. Aquele é o determinante da matriz
Voltando para a equação de , temos
Integrando cada componente desse vetor vamos ter
Ufa, conta a vera isso. Esses sistemas tem muita conta de matriz. Começa a se habituar, porque vai dar um trabalhinho mas sei que você consegue fique tranquilo
A solução vai ser
Pronto essa é nossa resposta. Gigante, mas relaxa que o passo a passo é de boa, vamos relembrá-lo?
Passo 1: Encontrar
Passo 2: Resolver a EDO homogênea equivalente
Passo 3: Achar a matriz fundamental
Passo 4: Inverter a matriz fundamental
Passo 5: Achar o valor de pela equação
Passo 6:Encontrar a solução da EDO não homogênea fazendo
“pronto”, De boa? Partiu exercícios
Autovalores Reais diferentes λ 1 ≠ λ 2
Autovalores Reais 2 iguais λ 1 = λ 2
Autovalores Complexos
Solução geral
Método da Variação dos Parâmetros
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
UNICAMP, Cálculo 3, Exame 2012, Questão 3
Encontre a solução geral do sistema linear não-homogêneo utilizando o método da variação de parâmetros:
Passo 1
Primeiramente, vamos identificar os termos do sistema de edo’s :
Assim, começamos pelo sistema homogêneo, encontrando os autovalores e autovetores de :
Portanto:
Passo 2
Vamos, agora, obter os autovetores correspondentes aos autovalores.
- Para :
- Para :
A equação do autovetor diz que . Então vamos fazer assim, vamos chamar de o autovetor associado ao autovalor .
Isso nos dá que . Então, com , por exemplo, temos:
Passo 3
O procedimento é semelhante:
E, assim, obtemos que . Logo,
Passo 3
O conjunto fundamental de soluções, então, é dado por:
Passo 4
Para acharmos a solução geral do problema, vamos usar o método da variação de parâmetros. Para isso, definimos uma função , tal que a solução do sistema seja
onde
Desta forma, nosso problema se restringe a resolver a equação
Passo 5
Beleza, mas quem é a matriz fundamental ? Fácil, olha ela aí!
Substituindo e , obtemos:
Passo 6
Para a inversa, temos:
Assim, o sistema se torna
Passo 7
Resolvendo e :
Logo:
Passo 8
Portanto,
Resposta
Exercício Resolvido #2
UNICAMP, Cálculo 3, P2 2011.1, Professor Santos, Questão 3
Considere o sistema
Escreva a solução geral do sistema homogêneo associado na forma onde é uma matriz e .
Resolva o sistema linear algébrico para onde e encontre uma solução particular do sistema.
Passo 1
O sistema dado é um sistema não-linear homogêneo , com
Passo 2
Vamos começar buscando os autovalores de :
O autovalor é repetido, com multiplicidade dois.
Passo 3
Agora, vamos avaliar os autovetores correspondentes:
Logo, os autovetores (associados ao único autovalor ) são da forma
Passo 4
Beleza, agora já podemos achar a primeira solução do sistema linear homogêneo associado, . Fazendo , temos .
Passo 5
Para achar a solução linearmente independente de (chamaremos de , vamos calcular :
Se , então e . Portanto,
Passo 6
Vamos montar, então, a matriz fundamental:
Assim, a solução geral do sistema homogêneo é:
Com dado acima e :
Passo 7
Para resolver o sistema linear não-homogêneo, fazemos , com e .
Passo 8
De , obtemos
E, assim, de :
Resolvendo para e :
Passo 9
Uma solução particular do sistema dado (não-homogêneo) é:
Resposta
Exercício Resolvido #3
UNICAMP, Cálculo 3, P2 2011.1, Professor Tozoni, Questão 3
Encontre a solução do sistema linear homogêneo de edo’s usando o método de autovalores e autovetores:
Por conseguinte encontre a solução geral do sistema não homogêneo:
Passo 1
Então galerinha, um sistema de EDO, para resolver esse rapaz a gente primeiro acha os autovalores:
Vamos achar as raízes:
Passo 2
Agora temos que achar os autovetores, então simbora, começando com :
Substituindo:
Continuando a conta
Multiplicando a primeira linha:
Assim o auto vetor é:
Onde:
Sacou??
OBS:
Olha, perceba o seguinte, eu gostaria que você mantivesse em mente o que a gente tá fazendo aqui, a primeira coisa foi supor uma solução de exponencial para resolver esse sistema, assim como fizemos na teoria foi suporte uma solução de exponencial, desenvolvendo isso achamos:
A primeira coisa é ver que pra isso não ser a solução trivial: e implica que as linhas da matriz são linear dependentes, isso implica em que o determinante dessa matriz seja ! Assim achamos os autovalores, depois substituímos o resultado no sistema para achar os autovetores, fechou?! Perceba que como as linhas são linearmente dependentes, significa que elas expressam exatamente a mesma equação, tipo desse jeito:
Sacou? Por isso sempre só pegamos uma, elas expressam a mesma coisa!
Fim do OBS
Vamos achar o segundo autovetor:
Pegando a primeira linha:
Assim:
Achamos os autovetores!
Passo 3
Então a solução geral para complexos é:
Subtituindo e :
Da pra juntar esses caras:
Vamos acha agora a segunda resposta:
Agora é só substituir e
Substituindo:
Juntando esses rapazes:
Passo 4
Assim a solução geral da homogênea é dada por:
Passo 5
Agora temos que achar a particular, começamos achando a matriz fundamental:
A ideia é que a solução do sistema é dada por:
Nos basta achar esse ! Ele obedece a seguinte relação:
A gente já sabe quem é , vamos calcular então o:
Lembra que:
Ajeitando o denominador:
Então ficou:
Passo 6
Então voltando:
Substituindo:
Multiplicando as matrizes:
Assim:
Integrando:
Passo 7
Assim a solução particular é dada por:
E a solução geral: