Método Matricial – Caso Homogêneo
Produzido por Carolina SabaTeoria
Agora vamos ver o método matricial para resolver sistemas de EDO. Lembre-se que um sistema de EDO’s de primeira ordem é desse tipo aqui:
E a gente diz que ele é homogêneo quando é nulo, certo? Quando não temos nenhuma função em .
Vamos começar dando uma olhada nesse sistema aqui:
Repara que ele é um sistema com e , certo? Então ele é um sistema
Método Matricial para o sistema
Nosso objetivo aqui é achar uma resposta na forma
Que vai ser a resposta para o nosso problema. Mas vamos com calma.
A primeira coisa é escrever o sistema na forma matricial. Você lembra como faz isso? Vamos olhar o nosso sistema
Repara que de um lado temos só derivada e do outro só função linear.
Começamos fazendo
O nosso vetor das derivadas vai ficar
Para escrever na forma matricial o sistema deve ficar assim
Precisamos achar o , essa matriz é dos coeficientes do sistema. Ela vai ser
E o sistema vai ser
Beleza?
Tá ok, já tendo o sistema na forma matricial, para resolve-lo a primeira coisa é encontrar os autovalores de e chamar de .
Usando a álgebra linear, vamos ver que os autovalores vão ser
Daí temos que:
Depois vamos achar os autovetores associados a e chamar de .
Começando com o autovetor associado a
Resolvendo tudo isso, vamos ter:
Aí você pode pensar que esse sistema tem duas equações linearmente dependentes. Ou seja, se fizermos encontramos , o que quer dizer que o sistema tem infinitas soluções. E você estaria completamente certx se pensasse isso!
O que nós fazemos aqui é escolher um par de valores e que atenda à condição e que seja conveniente. Você não vai escolher, por exemplo, e , porque seriam números muito inconvenientes, sacou?
Fazendo a mesma análise de antes, agora para :
Resolvendo tudo isso, vamos ter
Nesse caso, nossas soluções e vão ser
E a solução geral vai ser
Mas temos na verdade possibilidades para esses autovalores e autovetores associados.
A resposta vai ser dada com dois vetores e , vamos ver como eles ficam em cada caso.
Autovalores Reais diferentes
As funções vão ficar
Para achar os autovetores devemos fazer
Autovalores Reais 2 iguais
Aqui temos que achar o autovetor normalmente, fazendo
Depois temos que achar o vetor , para isso basta resolver a equação
E as soluções vão ser
Com
Autovalores Complexos
Os autovalores complexos tem essa forma
Os autovetores associados aos autovalores complexos são e . Esses autovetores agora são complexos também! Podemos expressá-los com a suas partes real e imaginária
As soluções vão ser
Solução geral
Vimos em cada caso como fica cada uma das soluções, porque isso tudo? Como falamos lá em cima, a solução geral vai ser
Então tudo se resume a achar essas funções
Beleza, isso serve para o sistema , mas e se agora tivermos o seguinte sistema?
E se for um sistema 3x3?
Nosso objetivo agora é achar a solução na forma
Repara que é praticamente a mesma coisa que antes, só que agora são vetores, , e
Aqui também vamos ter que começar escrevendo na forma matricial. Repara que de um lado temos só derivada e do outro só função linear.
Começamos fazendo
Então
A matriz dos coeficientes do sistema, vai ser
E o sistema vai ser
Beleza? Do mesmo jeito que fizemos no caso da matriz , primeiro vamos achar os autovalores de e chamar de . Depois, vamos achar os autovetores associados e chamar de .
Agora, temos possibilidades para esses autovalores e autovetores associados. A resposta consiste em três vetores , e . Vamos ver como eles ficam em cada caso.
Autovalores Reais diferentes
As funções vão ficar
Autovalores Reais 2 iguais
Aqui achamos os dois autovetores da forma como estamos acostumados. Depois temos que achar o nosso terceiro vetor, para isso basta resolver a equação
E as soluções vão ser
Com
Autovalores Reais 3 iguais
Aqui temos que achar o nosso segundo e terceiro vetor, para isso basta resolver a equação
E as soluções vão ser
Autovalores Complexos
Os autovalores complexos têm essa forma
E o terceiro vai ser real mesmo.
Os autovetores associado aos autovalores complexos são
Essa setinha em cima é para mostrar que isso são vetores, no autovalor não são vetores, são escalares mesmo.
As soluções vão ser
Solução geral
E a solução geral vai ser bem similar à do caso da
Então tudo se resume a achar essas funções.
Passo a passo
Show! Vamos para um resuminho do que precisa ser feito nesse método:
Passo 1: Colocar o sistema na forma matricial
Passo 2: Encontrar no autovalores
Passo 3: Encontrar os autovetores associados
Passo 4: Determinar os vetores solução para cada caso que vimos dos grupos de autovalores e autovetores associados.
Passo 5: Aplicar na solução geral
Agora vamos para os exercícios!