Transformada de Função vezes Exponencial
Teoria
Introdução
Imagina que queremos calcular a transformada de . De cara a gente podia pensar em fazer
Certo? NÃÃÃÃÃO!!!
Se usarmos a definição de transformada de Laplace:
A resolvermos a integral
Vamos obter que
Opa! Isso parece com algo que a gente já viu antes, lembra da transformada de ?
Tá vendo que a transformada de se parece com a transformada de ? A única diferença é que apareceu em vez de apenas . Nesse caso, nós dizemos que a transformada foi transladada ou deslocada unidades. Isso vai acontecer pra qualquer constante que estiver na exponencial. Tem um teorema aqui pra nós fixarmos:
Teorema do deslocamento
O que esse teorema nos diz é que devemos calcular a transformada de (normalmente pela tabela) e depois transladar em unidades.
Fique atento que gera o argumento , ou seja, o sinal é trocado em relação a exponencial!
Olha aqui um exemplo:
Viu o que rolou? O foi deslocado em 1 unidade que é a constante que multiplica o na exponencial.
Aqui tem outro caso:
Pronto! Agora você não precisa ficar sempre resolvendo a integral nesses casos. Agora, partiu exercícios!
Teorema do deslocamento
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Elaboração própria.
Calcule , onde
Passo 1
Queremos
Vamos aplicar, nesse problema, a seguinte fórmula:
Nesse caso, temos, para a primeira transformada, e, para segunda, .
Então, podemos escrever o seguinte:
Passo 2
Agora vamos calcular essas transformadas.
Sabemos o seguinte:
Logo,
Mas não queremos a transformada em , queremos em , não é? Então, basta substituir por na equação;
Certo, agora vamos fazer o mesmo para a outra transformada:
Mudando para , temos:
Passo 3
Agora basta juntar os valores que encontramos:
Resposta
Exercício Resolvido #2
UFF - Equações - Lista 5 - 1c
Calcule a transformada de Laplace da seguinte função de
Passo 1
Aqui vamos basicamente fazer aplicação de fórmulas,
Ele quer
Vamos fazer por partes
Passo 2
Começando com
Lembre-se que
Então
A nossa transformada fica
Lembrando que
E
Então
Passo 3
Vamos ver agora
Lembrando que
Então temos
Precisamos lembrar também que
Então
Assim vamos ter
Passo 4
A transformada vai ser a subtração do que achamos no passo 3 com o que achamos no passo 2