Função Degrau
Teoria
A função degrau unitário, também é conhecida como Função de Heaviside e ela é muito importante pra modelar fenômenos descontínuos! Ela tem essa carinha aqui 👇👇👇
Imagina calcular a transformada de uma função que possui saltos?! Por isso a gente precisa entender bem o que é a função degrau e como representa-la! Bora lá?
📢 Clique para ver mais:
- Função Degrau Unitário: Exercícios Resolvidos
- Transformada de Laplace da Função Degrau
- Tabela Transformada de Laplace
O que é uma Função Degrau?
A função degrau tem esse nome porque ela parece um degrau de uma escadinha mesmo! Podemos escrever a função acima da seguinte forma:
Ou seja, quando
Como essa não é uma função qualquer e sim uma função muito importante, ela tem uma notação própria: é denotada por , então fica assim
O que estamos dizendo ai em cima é que a função
No gráfico podemos representar isso da seguinte forma:
Quer saber mais sobre a representação de funções degrau? Então se liga nesse vídeo 👇👇👇
Como Escrever uma Função usando Degrau
Pra a gente aprender como escrever uma função usando degrau, vamos fazer um exemplo! Se liga na função
A primeira coisa que vamos fazer é um rascunho do gráfico:
Podemos enxergar essa função de cima como sendo a subtração de duas funções. Na primeira teríamos
Lembra que a função que a gente quer escrever é zero a partir de
Agora vamos subtrair uma da outra:
Graficamente temos:
É chegamos na nossa função degrau! Agora vamos praticar com exercícios?
Como Escrever uma Função usando Degrau
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Dennis Zill, Equações diferenciais volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2007, pp. 383-45. MODIFICADO
Se tem o seguinte gráfico:
Então qual a expressão da função a seguir?
Passo 1
Primeiro vamos lembrar como é uma função degrau,
E pode ser representada dessa forma: . Isso significa que a nossa função é zero até o ponto e depois ela assume valor igual a
No nosso problema, nós temos que a função que é zero até o ponto e depois ela assume a cara de uma . Deste modo, para descrever a nossa função, podemos multiplicar a nossa função degrau a nossa .
Outra forma de representar é . Deste modo, escreveríamos a nossa função assim,
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
Exercício Resolvido #2
Dennis Zill, Equações diferenciais volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2007, pp. 383-49. MODIFICADO
Se tem o seguinte gráfico:
Então qual a expressão da função a seguir?
Passo 1
Agora temos o contrário aqui. A função é até e zero depois. Não precisa aplicar inverso do degrau ou algo do tipo. É só a função por ela multiplicada pelo degrau em :
O termo a esquerda só é igual a para e é zero para então garantimos que a o gráfico será igual a:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
Exercício Resolvido #3
Dennis Zill, Equações diferenciais volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2007, pp. 383-46. MODIFICADO
Se tem o seguinte gráfico:
Então qual a expressão da função a seguir?
Passo 1
Agora os gráficos só são iguais no intervalo . Como fazemos? Vamos por partes. A função é zero para . Então:
É só colocar um degrau em que a gente garante isso:
Por enquanto é isso. Mas ela volta a ser zero para .
Se subtrairmos a função por ela mesma com um degrau que começa em , garantimos essa condição:
Que garante:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
Exercício Resolvido #4
Elaboração própria
Escreva função abaixo usando degrau unitário:
Passo 1
Está bem, A função é zero antes de e passa a ser depois, então temos um degrau unitário nesse ponto:
Passo 2
Só que, no ponto , a função vale dois. Então, em cima do que ela já tem, soma-se mais a partir desse ponto .
Como é a partir do ponto , temos um degrau centrado nesse ponto. Então:
Não há mais nenhum ponto a considerar, então essa é a resposta final.
Resposta
Exercício Resolvido #5
Elaboração própria
Escreva função abaixo usando degrau unitário:
Passo 1
Está bem, A função vale 1 antes de e passa a ser 0 depois. Não temos um degrau aqui, pois um degrau seria zero e depois e temos aqui justamente o contrário.
Como viver então? Muito bem. É só considerarmos uma função constante 1.
E que foi subtraída por um degrau centrado no ponto . Pois com isso a função zera:
Passo 2
Depois, no ponto , a função passa a valer , então tem um degrau multiplicado por centrado em :
Não tem mais nada para analisar, então essa é a resposta da questão. O segredo é ir analisando termo a termo na função chaveada.