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Enunciado

Ciência dos Materiais - Callister - Ciência e Engenharia de Materiais. Uma Introdução- Ed: 8º - Capítulo 9.Perguntas e Problemas - Ex. 23

Desenvolva as Equações 9.6a e 9.7a, que podem ser usadas para converter fração mássica em fração volumétrica e vice-versa.

Passo 1

Para nos desenvolvermos vamos definir a equação para este propósito, que é esta a abaixo:

V α   = v α v α   +   v β (1)

Onde: vα e vβ são os volumes das respectivas fases na liga

Sabemos que volume é massa pela densidade (m/d) então podemos substituí-las na equação acima:

V α   = m α d α       e       V β   = m β d β                 (2)

V α   = m α / d α m α d α   + m β d β (3)

Onde: m e d indicam massas e densidades, respectivamente. Agora, as frações de massa das fases α e β (Wα e Wβ) são definidas em termos das massas:

W α   = m α m α   + m β     e W β   = m β m α   + m β       (4)

Agora isolamos a massa respectivo a cada um, vejam como podemos fazer:

m α = W α   × (   m α + m β   ) e m β = W β   × (   m α + m β   ) (5)

Passo 2

Agora podemos substituir (5) em (3), partiu?

V α   = W α   × (   m α + m β   )     / d α W α   × (   m α + m β   )     d α   + W β   × (   m α + m β   ) d β

Repare que a função que está entre parênteses se simplificam, pois igualmente estão se dividindo, então ficaremos com a seguinte expressão:

V α   = W α   / d α W α       d α   + W β   d β

Assim resolvemos o primeiro problema proposto no exercício.

Passo 3

Resolvendo o segundo problema proposto pelo exercício, temos:

A fração mássica da fase α é definida como:

W α   = m α m α   + m β (1)

Sabendo que:

m α = V α   × d α e m β = V β   × d β (2)

Podemos então substituir 2 em 1.

W α   = V α   × d α     V α   × d α   + V β   × d β (3)

Agora devemos isolar Vα e V β :

V α = V α   × (   V α + V β   ) e V β = V β   × (   V α + V β   ) (4)

Passo 4

Agora substituindo 4 em 3 temos:

W α   = V α   (   V α + V β   ) × d α     V α (   V α + V β   )   × d α   + V β (   V α + V β   )   × d β

Fazendo as simplificações considerando que o que estão entre parênteses podem se simplificar por serem iguais, temos:

W α   = V α   × d α     V α   × d α   + V β   × d β

Resposta

Fração volumétrica: V α   = W α   / d α W α       d α   + W β   d β

Fração mássica: W α   = V α   × d α     V α   × d α   + V β   × d β

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