Enunciado

A energia de potencial resultante entre dois íons adjacentes, E, é representada pela soma abaixo.

E =   - A r + B r n

Calcule a energia de ligação Eo em termos dos parâmetros A,B e n usando o seguinte procedimento:

  1. Derive E em relação a r e então iguale a expressão resultante a zero, uma vez que a curva de E em função de r apresenta um mínimo em Eo.
  2. Resolva essa equação para r em termos de A, B e n, o que fornece r0, o espaçamento Interiônico de equilíbrio.
  3. Determine a expressão para Eo pela substituição de r0 na equação.

Passo 1

d E d r = d d r - A r + B r n

Derivando em relação a “r” temos:

Dica 1: considere as variáveis A e B como constantes e derive apena o “r”.

Dica 2: para facilitar as contas transforme o denominador em numerador para derivar, depois o torne denominador novamente com o sinal do expoente trocado.

d E d r = A r ² - n B r ( n + 1 )

Passo 2

Agora fazendo r= r0 e d E d r = 0 :

A r 0 2 = n B r 0 ( n + 1 )

Depois de substituir r por r0, devemos isolar o “r0”

r 0 = A n B 1 / ( 1 - n )

Passo 3

Agora E= E0

Mas como já temos o r 0 = A n B 1 / ( 1 - n ) devemos substituir na equação:

E 0   =   - A A n B 1 / ( 1 - n ) + B A n B n / ( 1 - n )

Assim temos a expressão em relação a E0

Resposta

  1. d E d r = A r ² - n B r ( n + 1 )
  2. r 0 = A n B 1 1 - n
  3. E 0   =   - A A n B 1 / ( 1 - n ) + B A n B n / ( 1 - n )
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