Enunciado

A resistência à fratura do vidro pode ser aumentada por um ataque químico que remove uma fina camada superficial. Acredita-se que o ataque químico pode alterar a geometria das trincas superficiais (isto é, reduzir o comprimento da trinca e aumentar o raio da ponta da trinca). Calcule a razão entre o raio original e o raio da ponta da trinca após o ataque químico para um aumento de oito vezes na resistência à fratura, considerando que dois terços do comprimento da trinca foi removido.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

A expressão que relaciona a tensão máxima de tração, resistência à tração nominal e o raio da ponta da fissura na qual a fratura ocorre é dada por:

σ m = 2 σ 0 a ρ t 1 / 2

Onde σ m é a tensão máxima, σ 0 a resistência à tração, a o comprimento da trica e ρ t o raio na ponta da trinca.

Temos que calcular a razão entre o raio original e o raio da ponta da trica após o ataque químico considerando que houve um aumento de 8 vezes na resistência à fratura e 2 / 3 do comprimento da trinca tenha sido removido.

Considerando o índice 1 para o composto original e 2 para o composto após o ataque, temos que:

σ m 1 = 2 σ 0 1 a 1 ρ t 1 1 / 2

E:

σ m 2 = 2 σ 0 2 a 2 ρ t 2 1 / 2

Passo 2

Sabemos que as tensões máximas são iguais, portanto:

σ m 1 = σ m 2

2 σ 0 1 a 1 ρ t 1 1 / 2 = 2 σ 0 2 a 2 ρ t 2 1 / 2

Como o comprimento diminui 2 / 3 em relação ao original, temos que:

a 2 = 1 3 a 1

Houve também um aumento de 8 vezes na resistência à fratura, portanto:

σ 0 2 = 8 σ 0 1

Passo 3

Agora é só substituir as relações discutidas no passo anterior e desenvolver para encontrar a relação entre os raios da ponta.

2 8 σ 0 2 3 a 2 ρ t 1 1 / 2 = 2 σ 0 2 a 2 ρ t 2 1 / 2

Cortando os valores iguais em ambos os lados, temos que:

8 3 ρ t 1 1 / 2 = 1 ρ t 2 1 / 2

Elevando os dois termos ao quadrado, temos que:

64 3 ρ t 1 = 1 ρ t 2

Logo, a razão entre o raio da ponta da fissura após o ataque e o original é de:

ρ t 1 ρ t 2 = 192

Resposta

ρ t 1 ρ t 2 = 192

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