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Exercícios Resolvidos de Classificação de Sistemas

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Exercício 61234578

Enunciado

Verificar se cada uma das funções abaixo são lineares:

a) y ( t ) = x ( t - a ) ; a > 0

a) y t = μ - 1 t ; μ - 1 t   é   a   f u n ç ã o   d e g r a u   u n i t á r i o

c)   x ¨ + a 1 x ˙ + x = u ( t )

Passo 1

E aí galera, tudo tranquilo?

Quando a questão pede para verificar uma função é linear, precisamos aplicar ou o princípio da superposição e da homogeneidade.

Que nada mais é que:

f α x 1 + β x 2 = α . f x 1 + β . ( x 2 )

Agora só aplicar em cada uma das funções.

Passo 2

a) Para verificarmos se y ( t ) = x ( t - a ) ; a > 0 é linear, verificamos se ela satisfaz a seguinte propriedade:

f α x 1 + β x 2 = α . f x 1 + β . ( x 2 )

y α t 1 + β t 2 = x α t 1 + β t 2 - a = α x t 1 + β x t 2 - x ( a )

α y t 1 ) + β y ( t 2 = α x t 1 - a + β x t 2 - a = α x t 1 + β x t 2 - β α x ( a )

Ou seja,

y α t 1 + β t 2   ≠ α y α t 1 ) + β y ( β t 2

Logo, y ( t ) = x ( t - a ) ;   a > 0   , não é linear.

Passo 3

b) Sendo u - 1 ( t ) = 1 ,     t ≥ 0 0 ,     t < 0 ,para verificarmos se y t = μ - 1 t é linear, conferimos se ela satisfaz a seguinte propriedade:

f α x 1 + β x 2 = α . f x 1 + β . ( x 2 )

y α t 1 + β t 2 = u - 1 α t 1 + β t 2

y α t 1 ) + y ( β t 2 = u - 1 α t 1 + u - 1 β t 2  

Em casos confusos como esse, uma boa saída é chutar alguns valores e testar se a propriedade não é satisfeita para algum deles.

Considerando α = 1 e β = 1 e t 1 , t 2 > 0 .

y 1 t 1 + 1 t 2 = u - 1 1 t 1 + 1 t 2 = 1

1 y t 1 ) + 1 y ( t 2 = 1 u - 1 t 1 + 1 u - 1 t 2 = 2

Logo,

y α t 1 + β t 2   ≠ α y t 1 ) + β y ( t 2

Portanto, y t = μ - 1 t , não é linear.

Passo 4

c) Verificando a propriedade de superposição e homogeneidade.

f α x 1 + β x 2 = α . f x 1 + β . ( x 2 )

x ¨ ( α t 1 + β t 2 ) + a 1 x ˙ ( α t 1 + β t 2 ) + x ( α t 1 + β t 2 ) = u ( α t 1 + β t 2 )

Como a 1 é uma constante que não dependente de t , e os termos x ¨ ,   x ˙ ,   x são lineares, pois a derivada é um operador linear.

A equação de cima pode ser aberta como:

x ¨ ( α t 1 ) + x ¨ ( β t 2 ) + a 1 x ˙ ( α t 1 ) + a 1 x ˙ ( β t 2 ) + x ( α t 1 ) + x ( β t 2 ) = u ( α t 1 ) + u ( β t 2 )

Que é exatamente:

α x ¨ t 1 + β x ¨ t 2 + a 1 α x ˙ ( t 1 ) + a 1 β x ˙ ( t 2 ) + α x ( t 1 ) + β x ( t 2 ) = α u ( t 1 ) + β u ( t 2 )

Logo, a propriedade da superposição e homogeneidade foi satisfeita e x ¨ + a 1 x ˙ + x = u t é linear.

Resposta

  1. Não linear
  2. Não linear
  3. Linear