Enunciado

30. Use a análise de malhas para determinar v 0 no circuito da figura 10.78 . Seja v s 1 = 120 cos ⁡ ( 100 t + 90 ° )   V e v s 2 = 80 cos ⁡ ( 100 t )   V .

Passo 1

Fala galerinha! Vamos pra mais um problema sobre circuitos com corrente alternada.

Olha só! A primeira coisa que precisamos fazer, é passar os elementos do circuito para o domínio da frequência, ou seja, para a forma fasorial.

120 cos ⁡ ( 100 t + 90 ° ) = 120 ∠ 90 °     ,   ω = 100   r a d / s

80 cos ⁡ ( 100 t ) = 80 ∠ 0 °     ,   ω = 100   r a d / s

400   m H → j ω L = j 100 ⋅ 0,4 = j 40   Ω

300   m H → j ω L = j 100 ⋅ 0,3 = j 30   Ω

200   m H → j ω L = j 100 ⋅ 0,2 = j 20   Ω

50   μ F → - j 1 ω C = - j 1 100 ⋅ 0,00005 = - j 200   Ω

Passo 2

Agora, vamos preparar o circuito pra utilizar a nossa análise de malhas. Os elementos do circuito, já devem estar atualizados no domínio da frequência.

E aqui está, na nossa bela imagem, o circuito reformulado:

Pela lei de O h m , obtemos que a tensão V 0 nesse circuito, é dada por:

V 0 = - j 200 ( I 2 - I 3 )

Desse modo... Aplicando a lei das tensões de K i r c h h o f f ( L K T ) para a malha 1 , obtemos que:

- 120 ∠ 90 ° + 20 I 1 + j 30 I 1 - I 2 = 0

- j 120 + 20 + j 30 I 1 - j 30 I 2 = 0

20 + j 30 I 1 - j 30 I 2 = j 120

2 + j 3 I 1 - j 3 I 2 = j 12

E depois, fazendo a L K T para a malha 2 , chegamos à:

j 40 I 2 - j 200 I 2 - I 3 + j 30 I 2 - I 1 = 0

- j 30 I 1 - j 130 I 2 + j 200 I 3 = 0

- 3 I 1 - 13 I 2 + 20 I 3 = 0

Por último, aplicamos a L K T para a malha 3 :

80 - j 200 I 3 - I 2 + 10 I 3 + j 20 I 3 + = 0

j 200 I 2 + ( 10 - j 180 ) I 3 = - 80

j 20 I 2 + ( 1 - j 18 ) I 3 = - 8

Passo 3

Então, precisamos resolver o sistema abaixo:

2 + j 3 I 1 - j 3 I 2 = j 12   ( I ) - 3 I 1 - 13 I 2 + 20 I 3 = 0     I I j 20 I 2 + 1 - j 18 I 3 = - 8     ( I I I )

Isolando I 1 na primeira equação, temos:

2 + j 3 I 1 - j 3 I 2 = j 12  

2 + j 3 I 1 = j 3 I 2 + j 12

I 1 = j 3 I 2 2 + j 3 + j 12 2 + j 3

I 1 = 3 ∠ 90 ° 3,605 ∠ 56,31 ° I 2 + 12 ∠ 90 ° 3,605 ∠ 56,31 °

I 1 = 0,832 ∠ 33,69 ° I 2 + 3,33 ∠ 33,69 °

Isolando I 3 na terceireia equação, temos:

j 20 I 2 + ( 1 - j 18 ) I 3 = - 8

1 - j 18 I 3 = - 8 - j 20 I 2

I 3 = - 8 1 - j 18 - j 20 I 2 1 - j 18

I 3 = - 8 18,027 ∠ - 86,62 ° - 200 ∠ 90 ° 18,027 ∠ - 86,62 ° I 2

I 3 = - 0,444 ∠ 86,62 ° - 1,11 ∠ 176,82 ° I 2

Passo 4

Substituindo   I 1   e I 3   na segunda equação, chegamos à:

- 3 I 1 - 13 I 2 + 20 I 3 = 0

- 3 ( 0,832 ∠ 33,69 ° I 2 + 3,33 ∠ 33,69 ° ) - 13 I 2 + 20 ( - 0,444 ∠ 86,62 ° - 1,11 ∠ 176,82 ° I 2 ) = 0

2,496 ∠ 33,69 ° I 2 - 9,99 ∠ 33,69 ° ) - 13 I 2 - 22,2 ∠ 176,82 ° I 2 - 8,88 ∠ 86,82 ° = 0

2,496 ∠ 33,69 ° I 2 - 13 I 2 - 22,2 ∠ 176,82 ° I 2 = 9,99 ∠ 33,69 ° + 8,88 ∠ 86,82 °

I 2 - 2,077 - j 1,384 - 13 + 22,166 - j 1,232 = 8,312 + j 5,541 + 0,493 + j 8,866

I 2 = 8,805 + j 14,407 7,089 - j 2,616

I 2 = 16,884 ∠ 58,57 ° 7,526 ∠ - 20,25 °

I 2 = 2,23 ∠ 78,82 °   A

Logo, I 2 na forma retangular vai valer:

I 2 = 0,432 + j 2,187   A

Passo 5

E uma vez que já sabemos I 2 ; bora encontrar o valor de I 3 com àquela expressão do P a s s o   3 :

I 3 = - 0,444 ∠ 86,62 ° - 1,11 ∠ 176,82 ° I 2

I 3 = - 0,444 ∠ 86,62 ° - 1,11 ∠ 176,82 ° ⋅ ( 2,23 ∠ 78,82 °   )

I 3 = - 0,0246 - j 0,443 - ( 2,475 ∠ 255,64 ° )

I 3 = - 0,0246 - j 0,443 + 0,614 + j 2,397

I 3 = 0,589 + j 1,954   A

Passo 6

Para finalizar, sabemos que o valor da tensão V 0 nesse circuito, é dada por:

V 0 = - j 200 ( I 2 - I 3 )

E como já sabemos o valor de I 2 e I 3 , só nos resta substituir na equação acima:

V 0 = - j 200 ( I 2 - I 3 )

V 0 = - j 200 ( 0,432 + j 2,187 - 0,589 - j 1,954 )

V 0 = - j 200 ( - 0,157 + j 0,233 )

V 0 = 200 ∠ - 90 °   ⋅ ( 0,281 ∠ 123,97 ° )

V 0 = 56,2 ∠ 33,97 °   V

Falta colocar essa resposta no domínio do tempo:

v 0 ( t ) = 56,2 cos ⁡ ( 100 t + 33,97 ° )

E voilà! Missão cumprida!

Resposta

v 0 ( t ) = 56,2 cos ⁡ ( 100 t + 33,97 ° )

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