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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 28

28. No circuito da Figura 10.76 , determine as correntes de malha i 1 e i 2 . Seja v 1 = 10 cos ⁡ 4 t   V e v 2 = 20 cos ⁡ ( 4 t - 30 ° ) .

Passo 1

Fala galerinha! Vamos pra mais um problema sobre análise de malhas em circuitos de corrente alternada .

Olha só! A primeira coisa que precisamos fazer, é passar os elementos do circuito para o domínio da frequência, ou seja, para a forma fasorial.

10 cos ⁡ 4 t = 10 ∠ 0 °     ,   ω = 4   r a d / s

20 cos ⁡ ( 4 t - 30 ° ) = 20 ∠ - 30 °     ,   ω = 4   r a d / s

1   H → j ω L = j 4 ⋅ 1 = j 4   Ω

1   F → - j 1 ω C = - j 1 4 ⋅ 1 = - j 0,25   Ω

Passo 2

Agora, vamos preparar o circuito pra utilizar a nossa análise de malhas. Os elementos do circuito, já devem estar atualizados no domínio da frequência.

E aqui está, na nossa bela imagem, o circuito reformulado:

Aplicando a lei das tensões de K i r c h h o f f ( L K T ) para a malha 1 , obtemos que:

- 10 + 1 I 1 + j 4 I 1 - j 0,25 I 1 - I 2 + 1 I 1 - I 2 = 0

- 10 + I 1 + j 4 I 1 + 1 - j 0,25 I 1 - 1 - j 0,25 I 2 = 0

( 2 + j 3,75 ) I 1 - 1 - j 0,25 I 2 = 10

E depois, fazendo a L K T para a malha 2 , chegamos à:

20 ∠ - 30 ° + 1 - j 0,25 I 2 - 1 - j 0,25 I 1 + ( 1 + j 4 ) I 2 = 0

- 1 - j 0,25 I 1 + 2 + j 3,75 I 2 = - 20 ∠ - 30 °

Passo 3

Então, precisamos resolver o sistema abaixo:

2 + j 3,75 I 1 - 1 - j 0,25 I 2 = 10   ( I ) - 1 - j 0,25 I 1 + 2 + j 3,75 I 2 = - 20 ∠ - 30 °     ( I I )

Isolando I 1 na primeira equação, temos:

2 + j 3,75 I 1 - 1 - j 0,25 I 2 = 10

2 + j 3,75 I 1 = 1 - j 0,25 I 2 + 10

I 1 = 1 - j 0,25 I 2 + 10 2 + j 3,75

I 1 = 1 - j 0,25 I 2 2 + j 3,75 + 10 2 + j 3,75

I 1 = 1 - j 0,25 I 2 2 + j 3,75 + 10 2 + j 3,75

I 1 = 10 2 + j 3,75 + 1 - j 0,25 2 + j 3,75 I 2

I 1 = 10 4,25 ∠ 61,93 ° + 1,03 ∠ - 14,04 ° 4,25 ∠ 61,93 ° I 2

I 1 = 2,35 ∠ - 61,93 ° + 0,242 ∠ - 75,97 ° I 2

Substituindo essa relação na segunda equação:

- 1 - j 0,25 [ 2,35 ∠ - 61,93 ° + 0,242 ∠ - 75,97 ° I 2 ] + 2 + j 3,75 I 2 = - 20 ∠ - 30 °    

- 1,03 ∠ - 14,04 ° [ 2,35 ∠ - 61,93 ° + 0,242 ∠ - 75,97 ° I 2 ] + 2 + j 3,75 I 2 = - 20 ∠ - 30 °

- 2,42 ∠ - 75,97 ° + - 0,249 ∠ - 90 ° I 2 + 2 + j 3,75 I 2 = - 20 ∠ - 30 °

j 0,249 + ( 2 + j 3,75 ) I 2 = - 17,32 - j 10 + ( 0,587 - j 2,35 )

2 + j 4 I 2 = - 16,73 + j 7,65

I 2 = - 16,73 + j 7,65 2 + j 4

I 2 = 18,4 ∠ 155,43 ° 4,47 ∠ 63,43 °   A

I 2 = 4,12 ∠ 92 °   A = 4,12 ∠ - 88 °   A

Passo 4

E uma vez que já sabemos I 2 ; para encontrar I 1 basta substituir na fórmula abaixo:

I 1 = 2,35 ∠ - 61,93 ° + 0,242 ∠ - 75,97 ° I 2

I 1 = 2,35 ∠ - 61,93 ° + 0,242 ∠ - 75,97 ° ⋅ ( 4,12 ∠ 92 ° )

I 1 = 2,35 ∠ - 61,93 ° + 0,99 ∠ - 16,03 °

I 1 = 1,1 - j 2,07 + 0,95 + j 0,273

I 1 = 2,05 - j 1,797   A

I 1 = 2,73 ∠ - 41,24 °

Passo 5

Para finalizar, bastar voltar as correntes para o domínio do tempo:

i 1 ( t ) = 2,73 cos ⁡ 4 t - 41,24 °   A

i 2 ( t ) = 4,12 cos ⁡ 4 t - 88 °   A

Resposta

i 1 ( t ) = 2,73 cos ⁡ 4 t - 41,24 °   A

i 2 ( t ) = 4,12 cos ⁡ 4 t - 88 °   A

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Determine a corrente I no circuito da Figura 10.64 usando a análise nodal.
Consulte a Figura 10.69. Se v s t = V m s e nw t e v 0 t = As e n ( w t + ϕ ) , deduz as expressões para A e ϕ
Por meio da análise nodal, obtenha I 0 no circuito da Figura 10.66.
Obtenha V 0 na Figura 10.68 utilizando a análise nodal.
Use a análise nodal para obter V 0 no circuito da Figura 10.67 a seguir.