Enunciado
Elétrica - Johnson, D. E., Hilburn, J. L., Johnson, J. R. - Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos, PHB- Ed: 4º - Capítulo 9.6 - Ex. 1
Calcule a resposta forçada se
Onde é dado por (a) , (b)
Passo 1
Então galeres, o primeiro passo aqui vai ser encontrar as frequências naturais dessa equação diferencial e para isso vamos resolver a sua equação característica:
Depois de feito isso, vamos verificar se a nossa excitação possui alguma frequência em comum com a frequência natural e se isso ocorrer vamos tentar uma resposta forçada multiplicada por .
Vamos começar então, com a solução da equação característica que será igual independente da excitação .
Teremos, portanto, duas frequências naturais reais distintas, sendo elas:
Encontramos, portanto, as nossas frequências naturais.
Passo 2
Bom, vamos agora encontrar as nossas respostas forçadas.
Na letra a), temos que a excitação é dada por:
Portanto, temos uma frequência de excitação que é igual a uma frequência natural.
Sendo assim, vamos tentar a seguinte resposta forçada:
(Você pode reparar que o termo está multiplicado por , pois este termo possui a mesma frequência que uma das frequências naturais.)
Vamos diferenciar essa resposta, para substituir na equação e encontrar suas constantes e . (Cuidado com a regra do produto!)
Passo 3
Para finalizar, vamos substituir na expressão da equação para encontrar as constantes:
Para manter a igualdade da equação, que deve ser válida para qualquer valor de , é necessário portanto que o termo que acompanha no lado esquerdo seja igual ao do lado direito:
O mesmo deve acontecer com o termo que acompanha
Dessa forma, a resposta forçada será, portanto:
Passo 4
Vamos repetir o mesmo que fizemos para a letra a).
Agora, a excitação é dada como:
E a nossa excitação possui as duas frequências naturais ( e ).
Dessa forma, vamos tentar a seguinte resposta forçada:
E diferenciando teremos:
(Obs.: No livro, na seção 9.6, já é dada uma fórmula para a primeira e segunda derivada dessa resposta forçada, mas você também pode chegar nesses valores fazendo a derivada e tomando cuidado com as regras do produto que aparecerem.)
Passo 5
Agora, vamos substituir na equação diferencial para encontrar o valor das constantes.
Igualando os termos que multiplicam pelas mesmas exponenciais, teremos:
Portanto, a resposta forçada será: