Enunciado
Elétrica - Johnson, D. E., Hilburn, J. L., Johnson, J. R. - Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos, PHB- Ed: 4º - Capítulo 9.6 - Ex. 2
Calcule a resposta forçada se
Onde é dado por (a) , (b).
Sugestão: Em (b), tente
Passo 1
Então pessoal, o primeiro passo aqui vai ser encontrar as frequências naturais dessa equação diferencial e para isso vamos resolver a sua equação característica:
Depois de feito isso, vamos verificar se a nossa excitação possui alguma frequência em comum com a frequência natural e se isso ocorrer vamos tentar uma resposta forçada multiplicada por . Sendo que para (b), vamos tentar a sugestão dada no livro.
Vamos começar então, com a solução da equação característica que será igual independente da excitação .
Teremos, portanto, duas frequências naturais reais iguais, sendo elas:
Encontramos, portanto, as nossas frequências naturais.
Passo 2
Bom, vamos agora encontrar as nossas respostas forçadas.
Na letra a), temos que a excitação é dada por:
Portanto, temos uma frequência de excitação que é igual as duas frequências naturais.
Quando isso ocorre, tentamos uma frequência natural multiplicada por .
Sendo assim, vamos tentar a seguinte resposta forçada:
Vamos diferenciar essa resposta, para substituir na equação e encontrar suas constantes e . (Cuidado com a regra do produto!)
Passo 3
Para finalizar, vamos substituir na expressão da equação para encontrar as constantes:
Portanto, como essa equação precisa ser uma igualdade para qualquer valor de , teremos que:
Portanto, a resposta forçada será:
Passo 4
Na letra (b) temos que a excitação será:
E a sugestão dada no enunciado é de tentar a seguinte resposta forçada:
(Essa tentativa faz sentido, pois a resposta forçada para essa excitação seria , no entanto, como a frequência forçada é igual as duas frequências naturais é preciso multiplicar essa resposta por ).
Agora, diferenciando a resposta para depois substituir na equação diferencial e encontrar as constantes.
E a segunda derivada será:
Passo 5
Agora, vamos substituir na equação diferencial para encontrar o valor das constantes.
Igualando os termos que multiplicam pelas mesmas exponenciais, teremos:
Portanto, a resposta forçada será: